Тип 20 № 22610

Решение:

а)

Могло ли среднее арифметическое чисел на доске увеличиться?

Да, могло. Например, пусть 19 чисел равны 11, а одно число равно 50. Их среднее: $$\frac{19\cdot 11 + 50}{20} = \frac{209 + 50}{20} = \frac{259}{20} = 12{,}95.$$ Уменьшим все числа на 1. Тогда 19 чисел станут равны 10 и будут стёрты, а одно число станет 49 и останется. На доске останется одно число 49. Его среднее равно 49, что больше 12,95. Следовательно, среднее арифметическое увеличилось.

Ответ: да.

б)

Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равно 37, значит, их сумма равна $$20 \cdot 37 = 740.$$ Пусть $x$ — количество чисел, равных 11 (они после уменьшения станут 10 и будут стёрты), а $y$ — количество остальных чисел, которые были уменьшены на 1. Тогда количество оставшихся чисел равно $20 - x$, а их сумма равна $$740 - 11x - y.$$ (Исходная сумма $740$, стёртые числа $x$ штук по 11 дают вклад $-11x$, а уменьшенные на 1 числа $y$ штук дают $-y$.)

Среднее арифметическое оставшихся чисел равно $$\frac{740 - 11x - y}{20 - x}.$$ Предположим, что оно равно 44: $$\frac{740 - 11x - y}{20 - x} = 44.$$ Тогда $$740 - 11x - y = 44(20 - x) = 880 - 44x,$$ откуда $$y = 33x - 140.$$ Так как $y \ge 0$, получаем $33x - 140 \ge 0$, значит $x \ge 5$ (поскольку $x$ целое). С другой стороны, $y$ не может превышать количество не-11 чисел, то есть $y \le 20 - x$. Подставим: $$33x - 140 \le 20 - x \quad\Rightarrow\quad 34x \le 160 \quad\Rightarrow\quad x \le 4.$$ Получили противоречие: $x \ge 5$ и $x \le 4$. Следовательно, среднее не может быть равно 44.

Ответ: нет.

в)

Снова сумма исходных чисел равна 740. Пусть $x$ — число чисел, равных 11 (которые сотрутся), а $y$ — число остальных уменьшенных чисел. Тогда среднее оставшихся чисел равно $$d = \frac{740 - 11x - y}{20 - x}.$$ Чтобы максимизировать $d$, при каждом $x$ нужно взять минимальное $y$, то есть $y = 0$ (не уменьшаем остальные числа). Тогда $$d = \frac{740 - 11x}{20 - x}.$$

Остальные $20 - x$ чисел должны быть больше 11 и не превосходить 50, при этом их сумма равна $740 - 11x$. Максимально возможная сумма для $20 - x$ чисел (если все равны 50) равна $50(20 - x)$. Поэтому должно выполняться: $$740 - 11x \le 50(20 - x) \quad\Rightarrow\quad 740 - 11x \le 1000 - 50x \quad\Rightarrow\quad 39x \le 260 \quad\Rightarrow\quad x \le \frac{260}{39} \approx 6{,}66,$$ то есть $x \le 6$ (так как $x$ целое).

Функция $d(x) = \frac{740 - 11x}{20 - x}$ возрастает при $x \ge 0$ (производная положительна), поэтому максимум достигается при наибольшем допустимом $x = 6$: $$d_{\max} = \frac{740 - 11\cdot 6}{20 - 6} = \frac{740 - 66}{14} = \frac{674}{14} = \frac{337}{7}.$$

Осталось показать, что это значение достижимо. Возьмём $6$ чисел, равных $11$, и $14$ чисел с суммой $674$ (например, $13$ чисел по $48$ и одно число $50$: $13\cdot 48 + 50 = 624 + 50 = 674$). Тогда исходная сумма: $$6\cdot 11 + 13\cdot 48 + 50 = 66 + 624 + 50 = 740,$$ среднее равно $37$. Уменьшим только $6$ чисел, равных $11$, на $1$; они станут $10$ и сотрутся. Остальные числа не изменяются. Тогда на доске останутся $14$ чисел: $13$ чисел по $48$ и одно $50$. Их среднее: $$\frac{13\cdot 48 + 50}{14} = \frac{674}{14} = \frac{337}{7}.$$ Следовательно, наибольшее возможное среднее равно $\frac{337}{7}$.

Ответ: $\dfrac{337}{7}$.

Окончательные ответы:

а)да;

б)нет;

в) $\dfrac{337}{7}$.