Тип 19 № 22615

Решение

$$(*) \begin{cases} x - a \ge 0, \\ 3x - a > 0, \\ 0 \le x \le 1. \end{cases}$$

Преобразуем уравнение: $$\sqrt{x - a}\ln(3x - a) = (x-1)\ln(3x-a)$$ $$\ln(3x-a)\bigl(\sqrt{x-a}-(x-1)\bigr)=0.$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\ln(3x-a)=0,\\ &\sqrt{x-a}=x-1. \end{aligned} \right.$$

1. $\ln(3x-a)=0 \Rightarrow 3x-a=1 \Rightarrow x=\frac{a+1}{3}$.

Проверим условия $(*)$: $$\begin{cases} 0 \le \frac{a+1}{3} \le 1, \\ \frac{a+1}{3} - a \ge 0, \\ 3\cdot\frac{a+1}{3} - a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le a \le 2, \\ \frac{a+1-3a}{3} \ge 0 \Rightarrow -2a+1 \ge 0 \Rightarrow a \le \frac12, \\ 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-1; \frac12\right].$$ При этих $a$ получаем корень $x=\frac{a+1}{3}$.

1. $\sqrt{x-a}=x-1$.

Так как $x\in[0;1]$, то $x-1\le 0$, а левая часть неотрицательна. Равенство возможно только при $x-1=0$, то есть $x=1$. Тогда $$1-a=0 \Rightarrow a=1.$$ Проверим условия $(*)$ при $a=1,\; x=1$: $$1-1=0\ge0,\qquad 3\cdot1-1=2>0,$$ следовательно, $a=1$ даёт корень $x=1$.

Проверим совпадение корней: $$\frac{a+1}{3} = 1 \Rightarrow a+1=3 \Rightarrow a=2.$$ При $a=2$ корни совпадают (оба дают $x=1$), но $a=2$ не входит в промежуток $\left[-1; \frac12\right]$, поэтому дополнительных корней не возникает.

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$ при: $$a \in \left[-1; \frac12\right] \cup \left\{1\right\}.$$

Ответ: $\left[-1; \frac12\right] \cup \left\{1\right\}$.