Тип 20 № 22616

Решение:

Пусть на доске было написано 20 натуральных чисел, каждое больше 10 и не превосходит 50. Некоторые из них увеличили на 1. Числа, ставшие равными 51 (т.е. бывшие 50), стёрли. На доске осталось хотя бы одно число.

а)

Могло ли среднее арифметическое чисел на доске уменьшиться?

Да, могло. Например, пусть 19 чисел равны 11, а одно число равно 50. Их среднее: $$\frac{19\cdot 11 + 50}{20} = \frac{209 + 50}{20} = \frac{259}{20} = 12{,}95.$$ Увеличим все числа на 1. Тогда 19 чисел станут равны 12, а одно число станет 51 и будет стёрто. На доске останется 19 чисел, равных 12. Их среднее: $$\frac{19\cdot 12}{19} = 12 < 12{,}95.$$ Следовательно, среднее арифметическое уменьшилось.

Ответ: да.

б)

Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равно 24, значит, их сумма равна $$20 \cdot 24 = 480.$$ Пусть $x$ — количество чисел, равных 50 (они после увеличения станут 51 и будут стёрты), а $y$ — количество остальных чисел, которые были увеличены на 1. Тогда количество оставшихся чисел равно $20 - x$, а их сумма равна $$480 - 50x + y.$$ (Исходная сумма $480$, стёртые числа $x$ штук по 50 дают вклад $-50x$, а увеличенные на 1 числа $y$ штук дают $+y$.)

Среднее арифметическое оставшихся чисел равно $$\frac{480 - 50x + y}{20 - x}.$$ Предположим, что оно равно 17: $$\frac{480 - 50x + y}{20 - x} = 17.$$ Тогда $$480 - 50x + y = 17(20 - x) = 340 - 17x,$$ откуда $$y = 33x - 140.$$ Так как $y \ge 0$, получаем $33x - 140 \ge 0$, значит $x \ge 5$ (поскольку $x$ целое). С другой стороны, $y$ не может превышать количество не-50 чисел, то есть $y \le 20 - x$. Подставим: $$33x - 140 \le 20 - x \quad\Rightarrow\quad 34x \le 160 \quad\Rightarrow\quad x \le 4.$$ Получили противоречие: $x \ge 5$ и $x \le 4$. Следовательно, среднее не может быть равно 17.

Ответ: нет.

в)

Снова сумма исходных чисел равна 480. Пусть $x$ — число пятёрок (которые станут 51 и сотрутся), а $y$ — число остальных увеличенных чисел. Тогда среднее оставшихся чисел равно $$d = \frac{480 - 50x + y}{20 - x}.$$ Чтобы минимизировать $d$, при каждом $x$ нужно взять минимальное $y$, то есть $y = 0$. Тогда $$d = \frac{480 - 50x}{20 - x}.$$ Так как все числа больше 10, то число 50 может быть только в количестве $x$, и при этом остальные $20-x$ чисел должны быть больше 10, чтобы их сумма была не меньше $11(20-x)$. Проверим ограничение: $$50x + 11(20-x) \le 480 \quad\Rightarrow\quad 50x + 220 - 11x \le 480 \quad\Rightarrow\quad 39x \le 260 \quad\Rightarrow\quad x \le 6.$$ Функция $$d(x) = \frac{480 - 50x}{20 - x}$$ убывает с ростом $x$ (можно проверить, взяв производную или просто сравнить значения). Наибольшее $x = 6$ даёт наименьшее $d$: $$d_{\min} = \frac{480 - 50\cdot 6}{20 - 6} = \frac{480 - 300}{14} = \frac{180}{14} = \frac{90}{7}.$$ Осталось показать, что такое $x$ достижимо. Возьмём 6 чисел, равных 50, и ещё 14 чисел, сумма которых равна 180 (например, все 14 чисел равны 11, их сумма $14\cdot 11 = 154$, нужно 180, значит, можно взять, например, 12 чисел по 11 и 2 числа по 24: $12\cdot 11 + 2\cdot 24 = 132 + 48 = 180$). Тогда исходная сумма: $$6\cdot 50 + 12\cdot 11 + 2\cdot 24 = 300 + 132 + 48 = 480,$$ среднее равно 24. Увеличим только числа, равные 50, на 1; они станут 51 и сотрутся. Остальные числа не увеличиваем. Тогда на доске останутся 14 чисел: двенадцать 11 и два 24. Их среднее: $$\frac{12\cdot 11 + 2\cdot 24}{14} = \frac{132 + 48}{14} = \frac{180}{14} = \frac{90}{7}.$$ Следовательно, наименьшее возможное среднее равно $\frac{90}{7}$.

Ответ: $\dfrac{90}{7}$.

Окончательные ответы:

а) да;

б) нет;

в)$\dfrac{90}{7}$.