Тип 15 № 22725

Решение:

а)

Треугольники $A_1C_1M$ и $BC$ равны по двум катетам.

Следовательно, их гипотенузы равны: $A_1M = BM$. Значит, в треугольнике $A_1MB$ две стороны равны, поэтому он является равнобедренным.

б)

Обозначим через $O$ середину стороны $ _1B$, а также пусть $CC_1 = 2x$. Тогда в прямоугольном треугольнике $A_1B_1B$ по теореме Пифагора:

$$A_1B = \sqrt{BB_1^2 + AB^2} = \sqrt{(2x)^2 + 2^2} = 2\sqrt{x^2 + 1},$$

следовательно, $A_1O = \dfrac{A_1B}{2} = \sqrt{x^2 + 1}$.

В равнобедренном треугольнике $A_1MB$ высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $MO \perp A_1B$. Длину $MO$ найдём из прямоугольных треугольников $A_1MO$ и $A_1C_1M$:

$$MO = \sqrt{A_1M^2 - A_1O^2}.$$

Так как $A_1M^2 = A_1C_1^2 + C_1M^2 = 2^2 + x^2$ и $A_1O^2 = x^2 + 1$, получаем:

$$MO = \sqrt{(4 + x^2) - (x^2 + 1)} = \sqrt{3}.$$

Площадь треугольника $A_1MB$ можно выразить двумя способами:

$$S_{A_1MB} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot A_1B = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{3}\sqrt{x^2 + 1}.$$

По условию площадь равна $6$, значит:

$$\sqrt{3}\sqrt{x^2 + 1} = 6 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x^2 + 1} = 2\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad x^2 + 1 = 12 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 11.$$

Так как $x > 0$, получаем $x = \sqrt{11}$. Следовательно, высота призмы $CC_1 = 2x = 2\sqrt{11}$.

Ответ: б) $2\sqrt{11}$.