Тип 18 № 22728

Решение:

а)

Проведем прямую через точку $C$ параллельно $BD$, она пересечет прямую $AD$ в точке $M$. Получим, что $BCMD$ --- параллелограмм.

В треугольнике $ACM$: $$AC=12, \; CM = BD =5, \; AM = AD + DM = 13$$ По теореме, обратной теореме Пифагора: $$AC^2 + CM^2 = AM^2 \; \Leftrightarrow \; 144+25=169 = 13^2$$ Тогда $\Delta ACM$ --- прямоугольный и $\angle OCM = 90^\circ$.

$MC \perp AC, \; BD \parallel MC \quad \Rightarrow \quad BD \perp AC$, что и требовалось доказать.

б) Из формулы площади трапеции:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2}\cdot(AD + BC)\cdot h \Leftrightarrow h = \frac{2\cdot S_{ABCD}}{AD + BC} = \frac{2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot AC \cdot BD}{AD + BC} = \frac{12\cdot5}{13} = \frac{60}{13}$$

Ответ: $\; \frac{60}{13}$