Тип 19 № 22729

Решение:

Пусть $b = a - 3$, тогда:

$$x^4 + b^2 = |x - b| + |x + b|$$

Пусть также $f(x) = x^4 + b^2$, а $g(x) = |x - b| + |x + b|$.

График функции $f(x)$ представляет собой резко возрастающую параболу с ветвями, направленными вверх. При стремлении значения параметра $b$ к нулю, парабола будет приближаться вершиной к точке (0; 0). При увеличении по модулю значения параметра $b$ вершина параболы будет "ползти" вверх.

Графиком функции $g(x)$ (при значении параметра $b = 0$ является "галка" с вершиной в точке $(0; 0)$. При увеличении по модулю значения параметра $b$ она будет усекаться.

Построим эскизы графиков и отметим ключевые случаи:

1. $b = 0$

1. $|b| > 0$

Вершина параболы и усечённая часть "галки" будут "ползти" вверх до момента касания, а затем более не пересекутся.

Значит, нам подходит такое значения параметра $|b_0|$, при котором вершина параболы касается плоской части "галки"

Промежуточный ответ: $(-\infty; -b_0] \cup [b_0; +\infty)$

Вершина параболы имеет координату по $y_0 = b^2$, а плоская часть "галки" имеет координату по $y_0 = \pm2b$.

Приравняем значения координаты: $$b^2 = \pm2b \Leftrightarrow b^2 \pm2b = 0 \Leftrightarrow b(b\pm2) = 0$$

$$b = 0, b = 2, b = -2$$

Значение $b = 0$ соотетствует случаю 1), при котором графики имеют 3 точки пересечения, что нам не подходит.

Значения $b = \pm2$ соответствуют необходимым нам случаям.

Делая обратную замену, получаем значения параметра $a$.

$$-a_0 = 3 - 2 = 1$$ $$a_0 = 3 + 2 = 5$$

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$