Тип 14 № 22742

Решение:

Преобразуем уравнение, выражая через тангенс.

Разделим обе части уравнения на $\cos 2x \neq 0$, так как $\cos 2x$ не является решением уравнения:

$$\sqrt3 \cdot \frac{\sin 2x}{\cos 2x} + 3 \cdot \frac{\cos 2x}{\cos 2x} = 0$$

$$\sqrt3 \cdot \tg 2x + 3 = 0$$

$$\sqrt3 \cdot \tg 2x = -3$$

$$\tg 2x = -\frac{3}{\sqrt3} = -\sqrt3$$

$$2x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$k = 3: \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi}{3}$$

$$k = 4: \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$

$$k = 5: \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{2} = \frac{7\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{4\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}; \frac{7\pi}{3}$$

Ответ:

а) $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z};$

б) $\frac{4\pi}{3}; \frac{11\pi}{6}; \frac{7\pi}{3}$