Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a(x−x9)2−2(x−x9)−49a+18=0
имеет ровно два различных корня.
Решение:
Решение:
Сделаем замену t=x−x9 и проанализируем её:
xx2−tx−9=0
Найдём, сколько решений имеет данное уравнение:
D=t2+36>0
Значит, любое значение t=x−x9 будет давать 2 решения для исходного уравнения.
at2−2t−49a+18=0
Рассмотрим подходящие нам случаи:
Исходное уравнение линейное.
Исходное уравнение квадратное и имеет ровно 1 корень.
Рассмотрим случаи по отдельности:
a=0−2t+18=0⇔t=9
Значит, a=0 мы берём в ответ.
D=0 -- уравнение квадратное и имеет ровно 1 решение:
D=(−2)2−4a(−49a+18)=0⇔4+196a2−72a=0⇔49a2−18a+1=0D=324−4⋅49=324−196=128a=9818±128=499±42
Объединяя оба случая, получаем:
a∈{499−42;0;499+42}
Ответ: a∈{499−42;0;499+42}
Источник:ЕГЭ · Математика · Основная волна. Дальний Восток. Вариант 3 2025