Тип 16 № 22786

Решение:

Преобразуем числитель:

$$27^x - 3\cdot9^{x + 1} + 3^{x + 5} - 729 = (3^3)^x - 3\cdot(3^2)^{x + 1} + 3^x\cdot3^5 - 3^6 =$$

$$= (3^x)^3 - 3\cdot3^{2x + 2} + 243\cdot3^x - 729 = (3^x)^3 - 27\cdot(3^x)^2 + 243\cdot3^x - 729$$

Пусть $t = 3^x > 0$. Тогда числитель примет вид:

$$t^3 - 27t^2 + 243t - 729 = (t - 9)^3$$

Таким образом, исходное неравенство равносильно:

$$\frac{(3^x - 9)^3}{0{,}5(10x + 1)^2} \leq 0$$

Применим метод рационализации для выражения $(3^x - 9)^3$. Так как $3^x - 9 = 3^x - 3^2$, и основание $3 > 1$, то знак $3^x - 9$ совпадает со знаком $(x - 2)$.

Получаем неравенство:

$$\frac{(x - 2)^3}{(10x + 1)^2} \leq 0$$

Решим методом интервалов:

Получаем: $$x \in (-\infty; -0{,}1) \cup (-0{,}1; 2]$$

Ответ: $(-\infty; -0{,}1) \cup (-0{,}1; 2]$