Тип 18 № 22788

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $AQM$ и $AHM$. Они равны по гипотенузе и острому углу. Значит$HM = MQ$ как соответствующие элементы равных треугольников.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MQC$. Катет $MQ$, лежащий напротив угла в $30^\circ$ равен половине гипотенузы $MC$. Тогда пусть $MQ = а$, тогда $MC = 2а$.

По свойству биссектрисы в треугольнике $ACH$:

$$\frac{AH}{AC} = \frac{HM}{MC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}.$$

Отсюда $AC = 2AH$. Но $AH = AQ$ (из равенства треугольников $AQM$ и $AHM$), значит $AC = 2AQ$, следовательно, $AQ = QC$.

Кроме того, из равенства прямоугольных треугольников $AQM$ и $CQM$ (по двум катетам) получаем $AM = MC$. Значит, в треугольнике $ABC$ медиана $AM$, проведённая к стороне $BC$, равна половине этой стороны. Следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$.

б)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 30^\circ$, значит катет $AB$, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы $BC$. Так как $AB = 10$, то $BC = 20$, а тогда $MC = 10$. В прямоугольном треугольнике $AHB$ угол $\angle BAH = 30^\circ$, значит, $BH = 5 = MH$.

Рассмотрим треугольник $CMF$. $\angle CMF = 180^\circ - \angle CMQ = 120^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $FMH$.$\angle MFH = 90^\circ - \angle HMF = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Отсюда следует, что $MF = 2MH = 10$

Найдём площадь треугольника $CMF$:

$$S_{FMC} = \frac{1}{2} \cdot FM \cdot MC \cdot \sin \angle CMF = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 120^\circ = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}.$$

Ответ: б) $25\sqrt{3}$.