Тип 19 № 22789

Решение:

Сделаем замену $t(x) = 5x + |x - a^2| -4|x + 1| - a^2$ -- функция от $x$.

Тогда исходное уравнение примет вид: $$t^2 + (a + 2)t + 1 = 0$$

Рассмотрим случаи раскрытия модулей:

$$t(x) = \begin{cases} 2x - 2a^2 - 4, \quad x > a^2, \\ -4, \quad -1 \le x \le a^2, \\ 8x + 4, \quad x < -1. \end{cases}$$

Построим график этой функции в осях $xOy$:

Одно значение $t$ соответствует одному значению $x$ на промежутке $x \in (-\infty; -1) \cup (a^2; +\infty)$.

При $x \in (-1; a^2)$ $t$ принимает единственное значение $-4$ при любом значении переменной $x$, что дает нам бесконечное кол-во решений, что нам не подходит.

Значит одно значение $t$ отличное от $-4$ будет давать нам ровно 1 решение исходного уравнения.

Чтобы исходное уравнение имело 2 различных решения, необходимо чтобы уравнение $t^2 + (a + 2)t + 1 =0$ имело 2 различных решения отличных от $-4$.

Зададим условия:

$$\begin{cases} D > 0, \\ (-4)^2 - 4(a + 2) + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a + 2)^2 - 4 > 0, \\ a \neq \frac{9}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty), \\ a \neq \frac{9}{4} \end{cases}$$

Получаем:

$$a \in (-\infty; -4) \cup \left(0;\frac{9}{4}\right) \cup \left(\frac{9}{4};+\infty\right)$$

Ответ: $(-\infty; -4) \cup \left(0;\frac{9}{4}\right) \cup \left(\frac{9}{4};+\infty\right)$