Тип 20 № 22790

Решение:

Докажем ключевое свойство. Пусть $a$ и $b$ --- два числа с доски. Возьмём любые три других числа $c,d,e$. Тогда суммы $a+c+d+e$ и $b+c+d+e$ делятся на $4$ (так как среднее арифметическое этих четырёх чисел целое). Вычитая, получаем $a-b$ делится на $4$. Аналогично, взяв шесть других чисел, получим, что $a-b$ делится на $7$. Следовательно, $a-b$ делится на $28$. Значит, все числа на доске дают одинаковые остатки при делении на $28$. Обратное утверждение также верно: если все числа имеют одинаковый остаток $r$ при делении на $28$, то сумма любых четырёх чисел равна $4r + 28k$, что делится на $4$, а сумма любых семи --- $7r + 28m$, что делится на $7$.

а)

Найдём остатки от деления данных чисел на $28$: $$563 = 28 \cdot 20 + 3, \qquad 1417 = 28 \cdot 50 + 17.$$ Остатки различны ($3$ и $17$), значит, эти числа не могут одновременно присутствовать на доске.

Ответ: нет.

б) Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4.

Квадраты нечетных чисел можно представить в виде $(4m \pm 1)^2 = 16m^2 \pm8m + 1$.

Значит, число $n^2$ не может при делении на 4 давать остаток 3, а число $563$ имеет именно такой остаток от деления на $3$. Получаем противоречие, следовательно

Ответ: нет.

в)

На доске должны быть числа $1$ и $n^2$. Так как все числа дают одинаковый остаток по модулю $28$, а $1$ даёт остаток $1$, то $n^2 \equiv 1 \pmod{28}$. Это равносильно тому, что $28 \mid (n^2 - 1) = (n-1)(n+1)$.

Числа $n$ и $1$ должны быть различными, поскольку все числа на доске различны, значит $n \neq 1$. Требуется найти минимальное натуральное $n > 1$, удовлетворяющее сравнению.

Разложим $28 = 4 \cdot 7$. Заметим, что $n-1$ и $n+1$ отличаются на $2$, поэтому они одной чётности. Если $n$ чётное, то оба множителя нечётны, их произведение не делится на $4$, что невозможно. Значит, $n$ нечётное. Тогда $n-1$ и $n+1$ чётны, и их произведение автоматически делится на $4$. Остаётся обеспечить делимость на $7$: нужно, чтобы $7$ делило $(n-1)(n+1)$, то есть $n \equiv \pm 1 \pmod{7}$.

Проверим нечётные $n > 1$ по возрастанию:

• $n=3$: $n-1=2$, $n+1=4$, произведение $8$ не кратно $7$;
• $n=5$: $4 \cdot 6 = 24$ не кратно $7$;
• $n=7$: $6 \cdot 8 = 48$ не кратно $7$;
• $n=9$: $8 \cdot 10 = 80$ не кратно $7$;
• $n=11$: $10 \cdot 12 = 120$ не кратно $7$; $n=13$: $12 \cdot 14 = 168$, и $168$ делится на $28$ ($168 = 28 \cdot 6$). Таким образом, минимальное подходящее $n$ равно $13$.

Осталось показать, что такое $n$ достижимо. Возьмём $10$ различных чисел, дающих остаток $1$ при делении на $28$, например: $$1,\; 29,\; 57,\; 85,\; 113,\; 141,\; 169 = 13^2,\; 197,\; 225,\; 253.$$ Все они различны, и все имеют остаток $1$ по модулю $28$, значит, условие задачи выполнено. Следовательно, $n=13$ действительно является минимальным.

Ответ: $13$.