Решение:
Сделаем замену t = ∣ x − 2 a − 1 ∣ + ∣ x − 2 a + 1 ∣ t = |x - 2a - 1| + |x - 2a + 1| t = ∣ x − 2 a − 1∣ + ∣ x − 2 a + 1∣
t 2 + a t + a 2 − 48 = 0 t^2 + at + a^2 - 48 = 0 t 2 + a t + a 2 − 48 = 0
Построим график зависимости t t t x x x
{ t = x − 2 a − 1 + x − 2 a + 1 , при x ≥ 2 a + 1 t = − x + 2 a + 1 + x − 2 a + 1 , при 2 a − 1 < x < 2 a + 1 t = − x + 2 a + 1 − x + 2 a − 1 , при x ≤ 2 a − 1 ⇔ \begin{cases}
t = x - 2a -1 + x -2a + 1 , \text{ при }x \geq 2a + 1\\
t = -x + 2a + 1 + x - 2a + 1, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\
t = -x + 2a + 1 - x + 2 a - 1, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\
\end{cases}\Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ t = x − 2 a − 1 + x − 2 a + 1 , при x ≥ 2 a + 1 t = − x + 2 a + 1 + x − 2 a + 1 , при 2 a − 1 < x < 2 a + 1 t = − x + 2 a + 1 − x + 2 a − 1 , при x ≤ 2 a − 1 ⇔ ⇔ { t = 2 x − 4 a , при x ≥ 2 a + 1 t = 2 , при 2 a − 1 < x < 2 a + 1 t = − 2 x + 4 a , при x ≤ 2 a − 1 \Leftrightarrow\begin{cases}
t = 2x - 4a, \text{ при }x \geq 2a + 1\\
t = 2, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\
t = -2x + 4a, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\
\end{cases} ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ t = 2 x − 4 a , при x ≥ 2 a + 1 t = 2 , при 2 a − 1 < x < 2 a + 1 t = − 2 x + 4 a , при x ≤ 2 a − 1
Строим график:
Заметим, что при:
t < 2 t < 2 t < 2
t = 2 t = 2 t = 2
t > 2 t > 2 t > 2 t t t
Исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения, если:
a) Квадратное уравнение t 2 + a t + a 2 − 48 = 0 t^2 + at + a^2 - 48 = 0 t 2 + a t + a 2 − 48 = 0 2 2 2
б) Квадратное уравнение t 2 + a t + a 2 − 48 = 0 t^2 + at + a^2 - 48 = 0 t 2 + a t + a 2 − 48 = 0 2 2 2 2 2 2
Последовательно рассмотрим данные случаи:
а) Зададим необходимые условия и составим систему:
{ D = 0 t 0 > 2 ⇔ { a 2 − 4 a 2 + 192 = 0 − a 2 > 2 ⇔ { 3 a 2 − 192 = 0 a < − 4 ⇔ \begin{cases}
D = 0\\
t_{0} > 2
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
a^2 - 4a^2+ 192 = 0\\
-\tfrac{a}{2} > 2
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
3a^2 - 192 = 0\\
a < -4
\end{cases} \Leftrightarrow { D = 0 t 0 > 2 ⇔ { a 2 − 4 a 2 + 192 = 0 − 2 a > 2 ⇔ { 3 a 2 − 192 = 0 a < − 4 ⇔ ⇔ { a = ± 8 a < − 4 ⇔ a = − 8 \Leftrightarrow \begin{cases}
a = \pm8\\
a < -4
\end{cases} \Leftrightarrow a = -8 ⇔ { a = ± 8 a < − 4 ⇔ a = − 8
б) Графиком квадратичной функции $t^2 + at + a^2 - 48 $ является парабола с ветями, направленными вверх. Для того чтобы корни уравнения t 2 + a t + a 2 − 48 = 0 t^2 + at + a^2 - 48 = 0 t 2 + a t + a 2 − 48 = 0 t = 2 t = 2 t = 2 f ( t ) = t 2 + a t + a 2 − 48 f(t) = t^2 + at + a^2 - 48 f ( t ) = t 2 + a t + a 2 − 48
f ( 2 ) < 0 ⇔ 4 + 2 a + a 2 − 48 < 0 ⇔ a 2 + 2 a − 44 < 0 ⇔ f(2) < 0 \Leftrightarrow 4 + 2a + a^2 - 48 < 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a - 44 < 0 \Leftrightarrow f ( 2 ) < 0 ⇔ 4 + 2 a + a 2 − 48 < 0 ⇔ a 2 + 2 a − 44 < 0 ⇔ ⇔ { a < − 1 + 3 5 a > − 1 − 3 5 \Leftrightarrow \begin{cases}
a < -1 + 3\sqrt{5}\\
a > -1 - 3\sqrt5
\end{cases} ⇔ { a < − 1 + 3 5 a > − 1 − 3 5
Объединяя полученные значения, получаем:
( − 1 − 3 5 ; − 1 + 3 5 ) ∪ { − 8 } (-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\} ( − 1 − 3 5 ; − 1 + 3 5 ) ∪ { − 8 }
Ответ: ( − 1 − 3 5 ; − 1 + 3 5 ) ∪ { − 8 } (-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\} ( − 1 − 3 5 ; − 1 + 3 5 ) ∪ { − 8 }
