Решение:
Сделаем замену t = ∣ x − a − 2 ∣ + ∣ x − a + 2 ∣ t = |x- a - 2| + |x - a + 2| t = ∣ x − a − 2∣ + ∣ x − a + 2∣
t 2 − a t + a 2 − 64 = 0 t^2 -at + a^2 - 64 = 0 t 2 − a t + a 2 − 64 = 0
Построим график зависимости t t t x x x
{ t = − 2 x + 2 a , при x ≤ a − 2 t = 4 , при a − 2 < x < a + 2 t = 2 x − 2 a , при x ≥ a + 2 \begin{cases}
t = -2x + 2a, \text{ при }x \leq a - 2\\
t = 4, \text{ при } a - 2 < x < a + 2\\
t = 2x - 2a, \text{ при } x \geq a + 2 \\
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ t = − 2 x + 2 a , при x ≤ a − 2 t = 4 , при a − 2 < x < a + 2 t = 2 x − 2 a , при x ≥ a + 2
Строим график:
Заметим, что при:
t < 4 t < 4 t < 4
t = 4 t = 4 t = 4
t > 4 t > 4 t > 4 t t t
Исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения, если:
a) Квадратное уравнение t 2 − a t + a 2 − 64 = 0 t^2 -at + a^2 - 64 = 0 t 2 − a t + a 2 − 64 = 0 4 4 4
б) Квадратное уравнение t 2 − a t + a 2 − 64 = 0 t^2 -at + a^2 - 64 = 0 t 2 − a t + a 2 − 64 = 0 4 4 4 4 4 4
Последовательно рассмотрим данные случаи:
а) Зададим необходимые условия и составим систему:
{ D = 0 t 0 > 2 ⇔ { a 2 − 4 a 2 + 256 = 0 a 2 > 2 ⇔ { 3 a 2 − 256 = 0 a > 4 ⇔ \begin{cases}
D = 0\\
t_{0} > 2
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
a^2 - 4a^2+ 256 = 0\\
\tfrac{a}{2} > 2
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
3a^2 - 256 = 0\\
a > 4
\end{cases} \Leftrightarrow { D = 0 t 0 > 2 ⇔ { a 2 − 4 a 2 + 256 = 0 2 a > 2 ⇔ { 3 a 2 − 256 = 0 a > 4 ⇔ ⇔ { a = ± 16 3 3 a > 4 ⇔ a = 16 3 3 \Leftrightarrow \begin{cases}
a = \pm\frac{16\sqrt3}{3}\\
a > 4
\end{cases} \Leftrightarrow a = \frac{16\sqrt3}{3} ⇔ { a = ± 3 16 3 a > 4 ⇔ a = 3 16 3
б) Графиком квадратичной функции t 2 − a t + a 2 − 64 t^2 -at + a^2 - 64 t 2 − a t + a 2 − 64 t 2 − a t + a 2 − 64 = 0 t^2 - at + a^2 - 64 = 0 t 2 − a t + a 2 − 64 = 0 t = 2 t = 2 t = 2 f ( t ) = t 2 + a t + a 2 − 48 f(t) = t^2 + at + a^2 - 48 f ( t ) = t 2 + a t + a 2 − 48
f ( 4 ) < 0 ⇔ 16 − 4 a + a 2 − 64 < 0 ⇔ a 2 − 4 a − 48 < 0 ⇔ f(4) < 0 \Leftrightarrow 16 -4a + a^2 - 64 < 0 \Leftrightarrow a^2 -4a - 48 < 0 \Leftrightarrow f ( 4 ) < 0 ⇔ 16 − 4 a + a 2 − 64 < 0 ⇔ a 2 − 4 a − 48 < 0 ⇔ ⇔ { a < 2 + 2 13 a > 2 − 2 13 \Leftrightarrow \begin{cases}
a < 2 + 2\sqrt{13}\\
a > 2 - 2\sqrt{13}
\end{cases} ⇔ { a < 2 + 2 13 a > 2 − 2 13
Объединяя полученные значения, получаем:
( 2 − 2 13 ; 2 + 2 13 ) ∪ { 16 3 3 } (2 - 2\sqrt{13}; 2 + 2\sqrt{13}) \cup \left\{\frac{16\sqrt3}{3}\right\} ( 2 − 2 13 ; 2 + 2 13 ) ∪ { 3 16 3 }
Ответ: ( 2 − 2 13 ; 2 + 2 13 ) ∪ { 16 3 3 } (2 - 2\sqrt{13}; 2 + 2\sqrt{13}) \cup \left\{\frac{16\sqrt3}{3}\right\} ( 2 − 2 13 ; 2 + 2 13 ) ∪ { 3 16 3 }
