Тип 20 № 22841

Решение:

Докажем ключевое свойство. Пусть $a$ и $b$ --- два числа с доски. Возьмём любые $k-1$ других чисел, где $k \in \{3,4,5,6\}$. Тогда суммы $a + c_1 + \dots + c_{k-1}$ и $b + c_1 + \dots + c_{k-1}$ делятся на $k$ (так как среднее арифметическое этих $k$ чисел целое). Вычитая, получаем, что $a-b$ делится на $k$. Следовательно, $a-b$ делится на каждое из чисел $3,4,5,6$, а значит, и на их наименьшее общее кратное: $$\text{НОК}(3,4,5,6) = 60.$$ Таким образом, все числа на доске дают одинаковые остатки при делении на $60$.

Обратное утверждение также верно: если все числа имеют одинаковый остаток $r$ при делении на $60$, то сумма любых $k$ чисел ($k=3,4,5,6$) равна $k r + 60m$, что делится на $k$, поскольку $60$ кратно каждому из этих $k$. Значит, условие задачи равносильно тому, что все числа сравнимы по модулю $60$.

Найдём остаток числа $30\,032$ при делении на $60$: $$30\,032 = 60 \cdot 500 + 32.$$ Следовательно, каждое число на доске должно иметь вид $60t + 32$, то есть давать остаток $32$ при делении на $60$.

a)Проверим число $312$: $$312 = 60 \cdot 5 + 12.$$ Остаток $12$ не равен $32$, значит, число $312$ не может быть среди записанных.

б) Предположим, что отношение двух чисел равно $6$, то есть существуют $a$ и $b$ такие, что $a = 6b$. Оба числа должны давать остаток $32$ по модулю $60$. Запишем $b = 60k + 32$. Тогда $$a = 6(60k + 32) = 360k + 192 = 60(6k + 3) + 12.$$ Получаем, что $a$ даёт остаток $12$ при делении на $60$, а должно быть $32$. Противоречие. Следовательно, отношение $6$ невозможно.

в) Пусть отношение двух чисел равно целому числу $n$, то есть $a = n b$, где $a$ и $b$ --- различные числа с доски. Так как $b$ имеет вид $60k + 32$, то $$a = n(60k + 32) = 60kn + 32n.$$ Чтобы $a$ тоже давало остаток $32$ по модулю $60$, разность $a - 32$ должна делиться на $60$: $$a - 32 = 60kn + 32n - 32 = 60kn + 32(n-1).$$ Первое слагаемое $60kn$ уже кратно $60$, поэтому остаётся потребовать, чтобы $32(n-1)$ делилось на $60$. Сократим на $4$ (наибольший общий делитель $32$ и $60$): $$8(n-1) \text{ делится на } 15.$$ Так как $8$ и $15$ взаимно просты, это равносильно тому, что $n-1$ кратно $15$. Наименьшее натуральное $n>1$, удовлетворяющее этому условию, равно $16$.

Осталось убедиться, что такое $n$ действительно достижимо. Возьмём, например, $b = 32$ (оно даёт остаток $32$). Тогда $a = 16 \cdot 32 = 512$, и $512 \equiv 32 \pmod{60}$ (так как $512 = 60 \cdot 8 + 32$). Кроме того, на доске обязательно должно быть число $30\,032$, которое также даёт остаток $32$. Дополним набор ещё семью различными числами, дающими остаток $32$ при делении на $60$, например:
$$32,\; 92,\; 152,\; 212,\; 272,\; 332,\; 392,\; 452,\; 512,\; 30\,032.$$
Все они различны, их 10, и все имеют остаток $32$ по модулю $60$, значит, условие задачи выполнено. Следовательно, минимальное значение $n$ равно $16$.

Ответ: а) нет; б) нет; в) $16$.