Тип 18 № 22859

Решение:

а)

По теореме об угле между касательной и хордой имеем $$\angle CBM = \angle BAM,\qquad \angle OMB = \angle BAM.$$ Углы $CBM$ и $BMA$ равны как накрест лежащие, а $\angle ABM = \angle CBM$ в силу того, что $BM$ — биссектриса. Следовательно, $$\angle BAM = \angle ABM = \angle AMB = \angle CBM = \angle OMB = 60^\circ.$$

Отрезок $OM$ служит средней линией треугольника $ABD$: действительно, $OM\parallel AB$ и $BO = OD$. Поэтому $M$ — середина $AD$, и выполняются равенства $AM = BM = MD$. Отсюда вытекает, что $\angle ABD = 90^\circ$.

б) В треугольнике $ODM$ находим $$\angle ODM = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ,$$ значит, $MD = 2\,OM = 4$.

Применим теорему Менелая к треугольнику $BMD$ и секущей $OK$: $$\frac{OD}{OB}\cdot\frac{BK}{KM}\cdot\frac{MA}{AD} = 1.$$ Подставляя $OD/OB = 1$ и $MA/AD = 1/2$, получаем $$1\cdot\frac{BK}{KM}\cdot\frac{1}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{BK}{KM}=2,$$ откуда $$\frac{BK}{BM}=\frac{2}{3}.$$

Площадь треугольника $BKO$ выражается через площадь $\triangle BMD$: $$S_{BKO} = \frac12\cdot\frac23\cdot S_{BMD}.$$ Тогда искомая площадь четырёхугольника $KODM$ равна $$S_{KODM} = \frac23\,S_{BMD} = \frac23\cdot\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin120^\circ = \frac{8\sqrt3}{3}.$$

Ответ: б) $\displaystyle\frac{8\sqrt3}{3}$.