Решение:
Пусть t=3x>0. Тогда 9x=t2, и неравенство примет вид:
t2−36t+243117−15t≥21.
Перенесём всё в одну сторону:
t2−36t+243117−15t−21≥0.
Приведём к общему знаменателю:
2(t2−36t+243)2(117−15t)−(t2−36t+243)≥0.
Упростим числитель:
234−30t−t2+36t−243=−t2+6t−9=−(t−3)2.
Знаменатель:
t2−36t+243=(t−9)(t−27).
Получаем:
2(t−9)(t−27)−(t−3)2≥0⟺(t−9)(t−27)(t−3)2≤0.
Возвращаемся к переменной x:
(3x−9)(3x−27)(3x−3)2≤0.
По методу рационализации (основание 3>1):
(x−2)(x−3)(x−1)2≤0.
Решим методом интервалов:
Получаем решение:
x∈(2;3)∪{1}.
Ответ: (2;3)∪{1}.