Тип 13 № 22873

Решение:

Выразим цену $P$ через количество $Q$: $$P = 20000 - Q.$$

Тогда прибыль фирмы $\Pi(Q)$ (в рублях) равна: $$\Pi(Q) = PQ - 6000Q - 4000000 - tQ.$$

Подставим $P = 20000 - Q$: $$\Pi(Q) = (20000 - Q)Q - 6000Q - 4000000 - tQ.$$

Раскроем скобки и приведём подобные: $$\Pi(Q) = 20000Q - Q^2 - 6000Q - 4000000 - tQ = (14000 - t)Q - Q^2 - 4000000.$$

Получили квадратичную функцию относительно $Q$: $$\Pi(Q) = -Q^2 + (14000 - t)Q - 4000000.$$

Коэффициент при $Q^2$ отрицателен ($-1$), значит, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет максимум в вершине. Абсцисса вершины: $$Q_{\text{max}} = -\frac{14000 - t}{2 \cdot (-1)} = \frac{14000 - t}{2}.$$

При этом значении $Q$ прибыль фирмы максимальна (оно лежит в допустимом диапазоне $0 \le Q \le 20000$, так как $0 < t < 10000$).

Теперь найдём общую сумму налогов $N(t)$, собранных государством: $$N(t) = tQ = t \cdot \frac{14000 - t}{2} = 7000t - \frac{t^2}{2}.$$

Это также квадратичная функция от $t$ с отрицательным коэффициентом при $t^2$, значит, она достигает максимума в вершине: $$t_{\text{max}} = -\frac{7000}{2 \cdot \left(-\frac12\right)} = 7000.$$

Ответ: $7000$.