Тип 18 № 22874

Решение:

а) Пусть диагонали ромба пересекаются в точке $O$. По свойству ромба диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому $AO = OC$ и $BO = OD$.

Из условия $AM = NM = NC$ следует, что $AC$ разделена на три равные части, значит $$AM = MN = NC = \frac{AC}{3}.$$ Так как $AO = OC = \frac{AC}{2}$, то $$MO = AO - AM = \frac{AC}{2} - \frac{AC}{3} = \frac{AC}{6},\qquad ON = OC - NC = \frac{AC}{2} - \frac{AC}{3} = \frac{AC}{6}.$$ Следовательно, $MO = ON$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $AO$ является его медианой (так как $O$ — середина $BD$). Точка $M$ лежит на $AO$, причём $$AM : MO = \frac{AC}{3} : \frac{AC}{6} = 2 : 1.$$ Медиана точкой пересечения медиан делится в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABD$. Следовательно, прямая $BM$ является медианой (так как проходит через вершину $B$ и точку пересечения медиан), и она пересекает сторону $AD$ в её середине. Поэтому $AP = PD$.

Аналогично, в треугольнике $CBD$ точка $N$ также является точкой пересечения медиан (поскольку $CN:NO = 2:1$), значит, прямая $BN$ — медиана, и она пересекает сторону $CD$ в её середине: $CQ = QD$.

Теперь используем свойство медианы: она делит треугольник на два равновеликих. В треугольнике $ABD$ медиана $BP$ делит его на треугольники $ABP$ и $BPD$ равной площади: $$S_{ABP} = S_{BPD} = \frac{1}{2}S_{ABD}.$$ Аналогично, в треугольнике $BCD$ медиана $BQ$ даёт $$S_{BCQ} = S_{BDQ} = \frac{1}{2}S_{BCD}.$$

Заметим, что $S_{ABD} = S_{BCD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$ (диагональ $BD$ делит ромб на два равных треугольника). Тогда $$S_{BPD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{4}S_{ABCD},$$ $$S_{BDQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{4}S_{ABCD}.$$ Следовательно, $$S_{BPDQ} = S_{BPD} + S_{BDQ} = \frac{1}{4}S_{ABCD} + \frac{1}{4}S_{ABCD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}.$$ А площадь треугольника $ADC$ равна половине площади ромба (так как диагональ $AC$ делит ромб на два равных треугольника). Таким образом, $$S_{ADC} = \frac{1}{2}S_{ABCD}.$$ Значит, $S_{BPDQ} = S_{ADC}$, что и требовалось доказать.

б)

Дано: $AC = 2\sqrt{5}$. Тогда $$AO = OC = \sqrt{3}, \quad AM = MN = NC = \frac{2\sqrt{5}}{3}.$$ Отсюда $$AN = AM + MN = \frac{2\sqrt{5}}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{3}.$$

По условию около пятиугольника $MNQDP$ можно описать окружность. Это означает, что точки $M, N, Q, D, P$ лежат на одной окружности.

Рассмотрим секущие, проведённые из точки $A$: прямая $AD$ пересекает окружность в точках $P$ и $D$ (так как $P$ и $D$ лежат на окружности), а прямая $AC$ пересекает окружность в точках $M$ и $N$. По теореме о произведении отрезков секущих: $$AM \cdot AN = AP \cdot AD.$$

Из пункта а) мы знаем, что $AP = PD$, значит $AD = AP + PD = 2AP$, следовательно, $AP = \frac{AD}{2}$. Подставим: $$AM \cdot AN = \frac{AD}{2} \cdot AD = \frac{AD^2}{2}.$$

Теперь подставим числовые значения: $$\frac{2\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{5}}{3} = \frac{AD^2}{2}.$$ Вычислим левую часть: $$\frac{2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5}}{9} = \frac{8 \cdot 5}{9} = \frac{40}{9}$$ Получаем: $$\frac{AD^2}{2} = \frac{40}{9} \quad\Rightarrow\quad AD^2 = \frac{80}{9} \quad\Rightarrow\quad AD = \frac{4\sqrt5}{3}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOD$, где $\angle AOD = 90^\circ$ (диагонали ромба перпендикулярны). В нём $AO = \sqrt{5}$, а $AD = \frac{4\sqrt{5}}{3}$. По теореме Пифагора: $$OD = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{\left(\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{\frac{16 \cdot 5}{9} - 5} = \sqrt{\frac{80}{9} - \frac{45}{9}} = \sqrt{\frac{35}{9}} = \frac{\sqrt{35}}{3}.$$ Так как $O$ — середина $BD$, то $$BD = 2 \cdot OD = 2 \cdot \frac{\sqrt{35}}{3} = \frac{2\sqrt{35}}{3}.$$

Ответ: $\dfrac{2\sqrt{35}}{3}$.