Тип 16 № 23454

Шаг 1. Находим ОДЗ.

Прежде чем решать, выясняем, при каких $x$ выражение вообще имеет смысл.

• Под корнем должно стоять неотрицательное число: $x\ge0$.
• Знаменатель не должен равняться нулю: $4^x-8\ne0$, т. е. $4^x\ne8$.

Запишем обе части как степени двойки: $4^x=(2^2)^x=2^{2x}$ и $8=2^3$. Тогда $2^{2x}\ne2^3$, значит $2x\ne3$, т. е. $x\ne1{,}5$.

ОДЗ: $x\ge0$, $x\ne1{,}5$.

Шаг 2. Переносим всё в левую часть.

Важно: умножать обе части на знаменатель $4^x-8$ нельзя. Мы не знаем его знак: при $x<1{,}5$ он отрицателен, а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется. Поэтому переносим $2$ влево и сравниваем дробь с нулём:

$$\frac{2^{2x+1}+x-5\sqrt x-12}{4^x-8}-2\ge0.$$

Сначала упростим $2^{2x+1}$. По свойству степеней $2^{2x+1}=2^{2x}\cdot2^1=2\cdot4^x$.

Приводим к общему знаменателю: двойку записываем как $\frac{2(4^x-8)}{4^x-8}=\frac{2\cdot4^x-16}{4^x-8}$. Вычитаем:

$$\frac{2\cdot4^x+x-5\sqrt x-12-2\cdot4^x+16}{4^x-8}\ge0.$$

Слагаемые $2\cdot4^x$ и $-2\cdot4^x$ взаимно уничтожаются, а $-12+16=4$:

$$\frac{x-5\sqrt x+4}{4^x-8}\ge0.$$

Шаг 3. Метод замены: раскладываем числитель на множители.

Числитель содержит $x$ и $\sqrt x$. Заметим, что $x=(\sqrt x)^2$. Сделаем замену $t=\sqrt x$, где $t\ge0$. Тогда

$$x-5\sqrt x+4=t^2-5t+4.$$

Это обычный квадратный трёхчлен. Его корни по теореме Виета: $t_1+t_2=5$, $t_1\cdot t_2=4$, значит $t_1=1$, $t_2=4$. Поэтому

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4).$$

Возвращаемся к $x$: числитель равен $(\sqrt x-1)(\sqrt x-4)$. Неравенство:

$$\frac{(\sqrt x-1)(\sqrt x-4)}{4^x-8}\ge0.$$

Шаг 4. Метод рационализации.

Идея метода. Нам нужно определить, когда дробь неотрицательна. Для этого важны только знаки множителей, а не их значения. Поэтому любой «сложный» множитель можно заменить «простым» множителем, который на ОДЗ имеет тот же знак и обращается в ноль в тех же точках.

Применяем к каждому множителю:

• $\sqrt x-1$. Функция $\sqrt x$ возрастает, и $\sqrt x=1$ при $x=1$. Значит, $\sqrt x-1>0$ ровно тогда, когда $x>1$. Заменяем: $\sqrt x-1\ \to\ x-1$.
• $\sqrt x-4$. Аналогично, $\sqrt x=4$ при $x=16$. Заменяем: $\sqrt x-4\ \to\ x-16$.
• $4^x-8$. Запишем $8=4^{1{,}5}$ (так как $4^{1{,}5}=(\sqrt4)^3=8$). Функция $4^x$ возрастает, поэтому $4^x-4^{1{,}5}>0\iff x>1{,}5$. Заменяем: $4^x-8\ \to\ x-1{,}5$.

Получаем равносильное на ОДЗ неравенство:

$$\frac{(x-1)(x-16)}{x-1{,}5}\ge0,\qquad x\ge0.$$

Шаг 5. Метод интервалов.

Отмечаем на прямой точки $1$, $1{,}5$ и $16$.

• $1$ и $16$ — нули числителя. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому они входят в ответ (закрашенные точки).
• $1{,}5$ — ноль знаменателя, на ноль делить нельзя, поэтому точка выколота.

Определяем знак на самом правом промежутке:

Нам нужны промежутки со знаком «$+$» и точки, где числитель равен нулю.

Шаг 6. Учитываем ОДЗ. Условие $x\ge0$ уже учтено (отрицательные $x$ мы не рассматривали), точка $x=1{,}5$ выколота.

Ответ: $[1;\,1{,}5)\cup[16;\,+\infty)$.