Тип 16 № 23455

Шаг 1. Находим ОДЗ.

• Под корнем: $x\ge0$.
• Знаменатель не равен нулю: $2^{2x+1}\ne64$. Так как $64=2^6$, получаем $2x+1\ne6$, т. е. $x\ne2{,}5$.

ОДЗ: $x\ge0$, $x\ne2{,}5$.

Шаг 2. Переносим 2 в левую часть.

На знаменатель не умножаем — его знак заранее неизвестен. Упростим степени:

$$4^{x+1}=4\cdot4^x,\qquad 2^{2x+1}=2\cdot2^{2x}=2\cdot4^x.$$

Тогда неравенство:

$$\frac{4\cdot4^x+x-13\sqrt x-92}{2\cdot4^x-64}-2\le0.$$

Приводим к общему знаменателю. В числителе вычитаем $2\cdot(2\cdot4^x-64)=4\cdot4^x-128$:

$$\frac{4\cdot4^x+x-13\sqrt x-92-4\cdot4^x+128}{2\cdot4^x-64}\le0.$$

Слагаемые $4\cdot4^x$ сокращаются, $-92+128=36$. В знаменателе выносим двойку: $2\cdot4^x-64=2(4^x-32)$.

$$\frac{x-13\sqrt x+36}{2(4^x-32)}\le0.$$

Шаг 3. Метод замены: раскладываем числитель.

Пусть $t=\sqrt x$, $t\ge0$, тогда $x=t^2$:

$$x-13\sqrt x+36=t^2-13t+36.$$

По теореме Виета: $t_1+t_2=13$, $t_1t_2=36$, значит $t_1=4$, $t_2=9$. Поэтому $t^2-13t+36=(t-4)(t-9)$, и числитель равен $(\sqrt x-4)(\sqrt x-9)$.

Шаг 4. Метод рационализации.

Заменяем каждый множитель на простой множитель с тем же знаком (для знака дроби важны только знаки множителей):

• $\sqrt x-4\ \to\ x-16$, так как $\sqrt x>4\iff x>16$;
• $\sqrt x-9\ \to\ x-81$, так как $\sqrt x>9\iff x>81$;
• $4^x-32$: так как $32=4^{2{,}5}$ (проверка: $4^{2{,}5}=2^5=32$) и функция $4^x$ возрастает, заменяем $4^x-32\ \to\ x-2{,}5$;
• множитель $2$ положителен и на знак не влияет — его просто убираем.

$$\frac{(x-16)(x-81)}{x-2{,}5}\le0,\qquad x\ge0.$$

Шаг 5. Метод интервалов.

Ответ: $[0;\,2{,}5)\cup[16;\,81]$.