Задание 20 № 23474: Сборник Ященко. Теория чисел 2027 — ЕГЭ по математике

Ширина одной секции забора 1 метр. Секции можно скреплять между собой только внахлёст 10 см или 30 см (накладывать одну секцию на другую) и получать забор определённой длины.

а) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 4,5 метра?

б) Можно ли из этих секций собрать забор длиной 5 метров?

в) Найдите наименьшую длину $L$ (в сантиметрах) забора, который можно собрать из таких секций, чтобы также можно было собрать забор любой длины $L+10n$ см ( $n\in\mathbb N$ ).

Сборник Ященко 2027. Вариант №1

Решение:

Общая формула длины.

Пусть забор собран из $n$ секций. Между соседними секциями $n-1$ нахлёстов: пусть $y$ из них по 30 см, а остальные $n-1-y$ — по 10 см. Тогда длина забора (в сантиметрах):

$L=100n-10(n-1-y)-30y=90n+10-20y,\qquad0\le y\le n-1.$

Удобно думать так: если все нахлёсты по 10 см, длина равна $90n+10$ . Каждая замена одного нахлёста «10» на «30» уменьшает длину на 20 см. Поэтому при данном $n$ получаются длины от $70n+30$ (все нахлёсты по 30) до $90n+10$ (все по 10) с шагом 20.

Пункт а). Нужно $90n+10-20y=450$ . Перебираем $n$ : при $n=6$ получаем $550-20y=450$ , $y=5$ . Это допустимо, так как $y\le n-1=5$ .

Пример: 6 секций, все 5 нахлёстов по 30 см: $600-5\cdot30=450$ см. Ответ: да.

Пункт б). Нужно $90n+10-20y=500$ , т. е. $90n-20y=490$ , или $9n-2y=49$ .

Чётность. $2y$ чётно, $49$ нечётно, значит $9n$ нечётно, т. е. $n$ нечётно.
Неравенства. Из $y\ge0$ : $9n\ge49$ , $n\ge6$ . Из $y\le n-1$ : $9n-49\le2n-2$ , $7n\le47$ , $n\le6$ .

Значит, $n=6$ — но $n$ должно быть нечётным. Противоречие. Ответ: нет.

Для ответа «нет» нужно доказать, что ни при каком $n$ это невозможно. Мы получили два условия на $n$ (чётность и границы), и они несовместны.

Пункт в).

Какие длины получаются. Длина $90n+10-20y$ при нечётном $n$ делится на 20, а при чётном $n$ даёт остаток 10 при делении на 20. Выпишем промежутки (внутри каждого шаг 20):

$n$ нечётное	длины	$n$ чётное	длины
5	от 380 до 460	6	от 450 до 550
7	от 520 до 640	8	от 590 до 730
9	от 660 до 820	10	от 730 до 910
11	от 800 до 1000	12	от 870 до 1090

Начиная с $n=7$ (нечётные) соседние промежутки «стыкуются»: $640+20=660$ , а дальше они перекрываются (каждый следующий промежуток длиннее). Значит, все числа, кратные 20 и не меньшие 520, получаются, а 500 — нет.

Начиная с $n=8$ (чётные) тоже всё стыкуется: $730$ — конец одного промежутка и начало следующего. Значит, все числа вида $20m+10$ , не меньшие 590, получаются, а 570 — нет.

Итак, выше 500 есть только две «дырки»: 500 и 570.

Оценка. Если $L\le570$ , то среди чисел $L,\ L+10,\ L+20,\ldots$ встретится 570 (длины кратны 10), а такой забор собрать нельзя. Значит, $L\ge580$ .

Пример. $L=580$ : числа $580,600,620,\ldots$ кратны 20 и не меньше 520 — собираются; числа $590,610,630,\ldots$ имеют вид $20m+10$ и не меньше 590 — тоже собираются.

«Наименьшее значение» всегда доказывается в две части: оценка (меньше нельзя) и пример (это значение достигается).

Ответ: а) да; б) нет; в) 580 см.

Источник: ЕГЭ · Математика · 2027