Тип 20 № 23475

Общая формула. Пусть $n$ секций, $y$ нахлёстов по 40 см и $n-1-y$ — по 10 см:

$$L=110n-10(n-1-y)-40y=100n+10-30y,\qquad0\le y\le n-1.$$

При данном $n$ длины идут от $70n+40$ (все нахлёсты по 40) до $100n+10$ (все по 10) с шагом 30.

Пункт а). $100n+10-30y=600$, т. е. $10n-3y=59$, $y=\frac{10n-59}3$. Ищем $n$, при котором $y$ — целое от 0 до $n-1$. При $n=8$: $y=\frac{21}3=7\le7$.

Пример: 8 секций, все 7 нахлёстов по 40 см: $880-280=600$ см. Ответ: да.

Пункт б). $100n+10-30y=500$, т. е. $10n-3y=49$.

• Из $y\ge0$: $10n\ge49$, $n\ge5$.
• Из $y\le n-1$: $10n-49\le3n-3$, $7n\le46$, $n\le6$.

Остаются $n=5$ и $n=6$:

• $n=5$: $3y=1$ — $y$ не целое;
• $n=6$: $3y=11$ — $y$ не целое.

Ответ: нет.

Пункт в).

Разбиение на классы. Найдём остаток длины при делении на 30: $100n+10-30y\equiv10n+10\pmod{30}$. Он зависит только от остатка $n$ при делении на 3:

В каждом классе, начиная с некоторого места, промежутки стыкуются или перекрываются (например, $710+30=740$), поэтому дальше получаются все длины этого класса. Самая большая «дырка» среди всех классов — 640.

Оценка. Если $L\le640$, то среди $L,\ L+10,\ldots$ есть 640, а его собрать нельзя. Значит, $L\ge650$.

Пример. $L=650$: $650$ — класс 20 (не меньше 530), $660$ — класс 0 (не меньше 600), $670$ — класс 10 (не меньше 670); все следующие длины тоже не меньше этих порогов. Всё собирается.

Ответ: а) да; б) нет; в) 650 см.