Тип 20 № 23476

Подготовка. Пусть всего куплено $N=n_1+n_2+n_3+n_4$ маркеров ($n_1\ge n_2\ge n_3\ge n_4$ — количества, упорядоченные по убыванию; какому цвету какое количество — не важно). Из условия $n_k-n_{k+1}\le2$:

$$n_3\le n_4+2,\quad n_2\le n_4+4,\quad n_1\le n_4+6.$$

Складываем: $N\le4n_4+12$, т. е. $n_4\ge\frac{N-12}4$. Смысл: если соседние количества отличаются не больше чем на 2, то самое маленькое количество не может быть «слишком маленьким».

Пункт а). Пример: 9 чёрных, 8 синих, 7 красных, 6 зелёных. Разности соседних количеств равны 1. Стоимость:

$$9\cdot23+8\cdot27+7\cdot31+6\cdot35=207+216+217+210=850\le1000.$$

Ответ: да. (Количества выбраны «ровными», и больше маркеров досталось дешёвым цветам.)

Пункт б). При $N=40$: $n_4\ge\frac{40-12}4=7$, значит, каждого цвета куплено не меньше 7 маркеров.

Запишем стоимость так: каждый маркер стоит хотя бы 23 рубля, а синий дороже на 4, красный на 8, зелёный на 12 рублей. Поэтому

$$\text{стоимость}\ge23\cdot40+4\cdot7+8\cdot7+12\cdot7=920+168=1088>1000.$$

Ответ: нет.

Пункт в).

Сдача меньше 23 рублей означает, что стоимость больше $977$ рублей (т. е. не меньше 978). Значит, нужно понять, какую наибольшую сумму можно потратить на $N$ маркеров.

Оценка сверху стоимости. Стоимость наибольшая, когда самое большое количество — у самого дорогого цвета (неравенство перестановок). Тогда (зелёных $n_1$, красных $n_2$, синих $n_3$, чёрных $n_4$):

$$35n_1+31n_2+27n_3+23n_4=35N-4n_2-8n_3-12n_4=35N-4(n_2+n_3+n_4)-4(n_3+n_4)-4n_4.$$

Оценим скобки снизу:

• $n_1\le n_2+2$, $n_1\le n_3+4$, $n_1\le n_4+6$. Складываем: $3n_1\le(n_2+n_3+n_4)+12$. Так как $n_1=N-(n_2+n_3+n_4)$, получаем $n_2+n_3+n_4\ge\frac{3(N-4)}4$.
• $n_1\le n_3+4$ и $n_2\le n_4+4$. Складываем: $n_1+n_2\le n_3+n_4+8$, откуда $n_3+n_4\ge\frac{N-8}2$.
• $n_4\ge\frac{N-12}4$ (из подготовки).

Подставляем:

$$\text{стоимость}\le35N-3(N-4)-2(N-8)-(N-12)=29N+40.$$

При $N\le32$: $29\cdot32+40=968<978$. Значит, $N\ge33$.

Пример для $N=33$: 11 зелёных, 9 красных, 7 синих, 6 чёрных. Разности: $2,2,1$ — условие выполнено. Стоимость $385+279+189+138=991\le1000$, сдача $9<23$.

Ответ: а) да; б) нет; в) 33.