Тип 20 № 23478

Среднее последовательных чисел. Среднее арифметическое последовательных чисел равно полусумме крайних. Если первая последовательность — $a,a+1,\ldots,a+k-1$, то

$$Q_1=\frac{a+(a+k-1)}2=a+\frac{k-1}2.$$

Если вторая — $b,b+1,\ldots,b+2k-1$, то $Q_2=b+\frac{2k-1}2$.

Пункт а). При $k=16$: $a+7{,}5=b+15{,}5$, т. е. $a=b+8$.

Пример: первая $1008,\ldots,1023$, вторая $1000,\ldots,1031$. Оба средних равны $1015{,}5$. Ответ: да.

Пункт б). При $k=15$: $a+7=b+14{,}5$, т. е. $a-b=7{,}5$. Но разность двух целых чисел — целое число. Противоречие. Ответ: нет.

Пункт в).

Упрощаем выражение. Всего в наборе $3k$ чисел, его среднее

$$M=\frac{kQ_1+2kQ_2}{3k}=\frac{Q_1+2Q_2}3.$$

Тогда

$$\frac{Q_1+Q_2}2-M=\frac{3Q_1+3Q_2-2Q_1-4Q_2}6=\frac{Q_1-Q_2}6.$$

При этом $Q_1-Q_2=a-b-\frac k2$.

Оценка. «Нет одинаковых чисел» означает, что отрезки последовательностей не пересекаются: одна целиком левее другой.

• Первая правее второй: $a\ge b+2k$, тогда $Q_1-Q_2\ge2k-\frac k2=1{,}5k\ge15$.
• Первая левее второй: $b\ge a+k$, тогда $Q_2-Q_1=b-a+\frac k2\ge k+\frac k2=1{,}5k\ge15$.

В обоих случаях $|Q_1-Q_2|\ge15$, значит, искомый модуль $\ge\frac{15}6=2{,}5$.

Пример. $k=10$; вторая последовательность $1000,\ldots,1019$, первая — сразу за ней: $1020,\ldots,1029$. Тогда $Q_2=1009{,}5$, $Q_1=1024{,}5$, разность $15$, модуль $\frac{15}6=2{,}5$. Последовательности «прижаты» друг к другу вплотную, и $k$ наименьшее.

Ответ: а) да; б) нет; в) 2,5.