Задание 20 № 23479: Сборник Ященко. Теория чисел 2027 — ЕГЭ по математике

Первая последовательность состоит из $k$ ( $k\ge10$ ) последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_1$ . Вторая последовательность состоит из $2k$ последовательных четырёхзначных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно $Q_2$ .

а) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=12$ ?

б) Может ли $Q_1=Q_2$ при $k=25$ ?

в) Найдите наибольшее возможное значение модуля разности $\dfrac{Q_1+Q_2}2$ и среднего арифметического набора, состоящего из членов первой и второй последовательностей, если в этом наборе нет одинаковых чисел.

Сборник Ященко 2027. Вариант №6

Решение:

Подготовка. Если первая последовательность начинается с $a$ , а вторая с $b$ , то $Q_1=a+\frac{k-1}2$ , $Q_2=b+\frac{2k-1}2$ .

Пункт а). $k=12$ : $a+5{,}5=b+11{,}5$ , т. е. $a=b+6$ . Пример: $1006,\ldots,1017$ и $1000,\ldots,1023$ — оба средних $1011{,}5$ . Ответ: да.

Пункт б). $k=25$ : $a+12=b+24{,}5$ , т. е. $a-b=12{,}5$ — разность целых не может быть дробной. Ответ: нет.

Пункт в).

Как в варианте 5, искомый модуль равен $\frac{|Q_1-Q_2|}6$ , где $Q_1-Q_2=a-b-\frac k2$ . Теперь нужна наибольшая разность. Все числа четырёхзначные, т. е. от 1000 до 9999.

Оценка.

Вторая последовательность правее первой. Наименьшее $a=1000$ ; последний член второй $b+2k-1\le9999$ , т. е. $b\le10000-2k$ . Тогда $Q_2-Q_1=b-a+\frac k2\le10000-2k-1000+\frac k2=9000-1{,}5k$ .
Первая правее второй. $a\le10000-k$ , $b\ge1000$ : $Q_1-Q_2\le10000-k-1000-\frac k2=9000-1{,}5k$ .

Так как $k\ge10$ : $|Q_1-Q_2|\le9000-15=8985$ , и модуль $\le\frac{8985}6=1497{,}5$ .

Пример. $k=10$ : первая $1000,\ldots,1009$ ( $Q_1=1004{,}5$ ), вторая $9980,\ldots,9999$ ( $Q_2=9989{,}5$ ). Разность $8985$ , модуль $1497{,}5$ . Последовательности разведены в самые края четырёхзначных чисел.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1497,5.

Источник: ЕГЭ · Математика · 2027