Тип 20 № 23480

Главное наблюдение (инвариант): все числа ряда дают остаток 4 при делении на 6.

• $n_1=1000-6D$. Так как $1000=6\cdot166+4$, а $6D$ делится на 6, остаток $n_1$ равен 4.
• Пусть $n_k$ даёт остаток 4. Если $n_{k+1}=n_k-6D$, то остаток тот же — 4 (вычли кратное 6). Если $n_{k+1}=(n_k-6D)^2$, то $n_k-6D$ даёт остаток 4, а квадрат — остаток $4^2=16=6\cdot2+4$, т. е. снова 4.

Значит, по цепочке все числа ряда дают остаток 4 при делении на 6. Такое свойство, которое не меняется на каждом шаге, называют инвариантом — это главный инструмент для ответа «нет».

Пункт а). $140=6\cdot23+2$ — остаток 2, а не 4. Значит, 140 в ряду быть не может ни при каком $D$. Ответ: нет.

Пункт б). $190=6\cdot31+4$ — остаток 4, запрета нет. Подберём $D$: удобно, чтобы $1000-6D-190$ делилось на $6D$. При $D=45$: $6D=270$, $n_1=730$, $n_2=730-270=460$ ($730>270$), $n_3=460-270=190$ ($460>270$). Ответ: да.

Пункт в). $D=32$, $6D=192$, $n_1=1000-192=808$.

Шаг 1. Пока число больше 192, вычитаем 192: $808\to616\to424\to232\to40$. Это 5 чисел.

Шаг 2. $40\le192$, поэтому следующее число — квадрат: $(40-192)^2=152^2=23104$.

Шаг 3. $23104=192\cdot120+64$. Вычитаем 192 ровно 120 раз и доходим до 64. Получаем числа $23104-192m$, $m=0,1,\ldots,120$ — это 121 число (последнее — 64).

Шаг 4. $64\le192$, следующее — $(64-192)^2=128^2=16384$. Но $16384=192\cdot85+64$ — это число вида $23104-192m$ (при $m=35$), оно уже было. Дальше ряд повторяет уже встречавшиеся числа.

Проверка, что числа шагов 1 и 3 не совпадают: числа шага 1 дают остаток 40 при делении на 192, а шага 3 — остаток 64.

Всего различных чисел: $5+121=126$. До начала повторов выписано 126 чисел — меньше 1000, так что все они действительно появятся.

Ответ: а) нет; б) да; в) 126.