Тип 20 № 23481

Инвариант: все числа ряда дают остаток 4 при делении на 6.

$n_1=1000-6D$ даёт остаток 4 ($1000=6\cdot166+4$). Вычитание $6D$ остаток не меняет, а квадрат числа с остатком 4 даёт остаток $16$, т. е. снова 4. Значит, все числа ряда имеют остаток 4.

Пункт а). $200=6\cdot33+2$ — остаток 2. Ответ: нет.

Пункт б). $550=6\cdot91+4$ — остаток 4, запрета нет. При $D=25$: $6D=150$, $n_1=850$, затем $700$, затем $550$. Ответ: да.

Пункт в). $D=28$, $6D=168$, $n_1=1000-168=832$.

Шаг 1. Вычитаем 168, пока число больше 168: $832\to664\to496\to328\to160$ — 5 чисел.

Шаг 2. $160\le168$: следующее $(160-168)^2=64$ — новое число (6-е).

Шаг 3. $64\le168$: следующее $(64-168)^2=104^2=10816$.

Шаг 4. $10816=168\cdot64+64$. Вычитаем 168 ровно 64 раза: числа $10816-168m$, $m=0,\ldots,64$. Последнее из них — 64, а оно уже было. Новых чисел здесь $65-1=64$.

Шаг 5. После 64 снова идёт 10816 — ряд зацикливается.

Важно не посчитать число 64 дважды. Всего различных: $5+1+64=70$.

Ответ: а) нет; б) да; в) 70.