Тип 20 № 23482

Обозначения. Для числа $n$ первого ряда обозначим через $n'$ число, полученное перестановкой цифр. $S_1$ и $S_2$ — суммы рядов.

• Если в $n$ есть 0, то $n'$ — наибольшее число из тех же цифр, поэтому $n'\ge n$.
• Если нуля нет, то $n'$ — наименьшее число из тех же цифр, поэтому $n'\le n$.

Пункт а). Нужны числа, которые при перестановке не меняются. Число 100 (ноль и в десятках, и в единицах; цифры уже по убыванию): $100'=100$. Число 111: $111'=111$. Берём одно число 100 и 99 чисел 111 — суммы рядов равны. Ответ: да.

Пункт б). Докажем, что для любого числа $n'<9n$.

• Нуля нет: $n'\le n<9n$.
• Есть ноль, первая цифра не меньше 2: $n\ge200$, а $n'\le990$. Тогда $n'\le990<1800\le9n$.
• Есть ноль, первая цифра 1: число вида $\overline{10b}$ или $\overline{1b0}$. Тогда $n'=100b+10$ (или $100$ при $b=0$), а $n\ge100+b$. Получаем $9n-n'\ge900+9b-100b-10=890-91b\ge890-819>0$.

Каждое новое число меньше девяти старых, значит, и $S_2<9S_1$. Ответ: нет.

Пункт в).

Пример. 98 чисел 109 (каждое $\to910$), одно число 190 ($\to910$) и одно число 111 ($\to111$). Условия выполнены: в 109 ноль в десятках, в 190 — в единицах, в 111 нуля нет.

$$\frac{S_2}{S_1}=\frac{98\cdot910+910+111}{98\cdot109+190+111}=\frac{90201}{10983}=\frac{30067}{3661}\approx8{,}21.$$

Оценка (метод «весов»). Обозначим $r=\frac{30067}{3661}$. Нужно доказать $S_2\le rS_1$, т. е. $S_2-rS_1\le0$. Удобство в том, что эта разность раскладывается в сумму по отдельным числам: $S_2-rS_1=\sum f(n)$, где $f(n)=n'-rn$. Оценим $f$ для каждого вида чисел.

• Число вида $\overline{10b}$ (ноль в десятках): $f=100b+10-r(100+b)$. Коэффициент при $b$ равен $100-r>0$, поэтому $f$ растёт с $b$ и наибольшее при $b=9$: $f(109)=910-109r$.
• Число вида $\overline{1b0}$ (ноль в единицах): $f=100b+10-r(100+10b)$, коэффициент при $b$ равен $100-10r>0$, наибольшее при $b=9$: $f(190)=910-190r$.
• Число с нулём и первой цифрой не меньше 2: $f\le990-200r$. Это меньше и $f(109)$, и $f(190)$ (так как $10r>80$).
• Число без нуля: $f\le n-rn=(1-r)n\le(1-r)\cdot111=f(111)$ (так как $1-r<0$ и $n\ge111$).

Итак: у любого числа $f\le f(109)$; у числа с нулём в единицах $f\le f(190)$; у числа без нуля $f\le f(111)$.

В ряду обязательно есть число с нулём в единицах и число без нуля (это разные числа). Для них берём оценки $f(190)$ и $f(111)$, для остальных 98 чисел — оценку $f(109)$:

$$S_2-rS_1\le98f(109)+f(190)+f(111)=90201-10983r=0.$$

(Если число с нулём в единицах имеет и ноль в десятках, т. е. это $\overline{a00}$, то для него $f=n(1-r)\le100(1-r)<f(190)$ — оценка тем более верна.)

Ответ: а) да; б) нет; в) $\dfrac{30067}{3661}$.