Тип 20 № 23483

Обозначения. $n'$ — число после перестановки, $S_1$, $S_2$ — суммы рядов. Для чисел с нулём $n'\ge n$, для чисел без нуля $n'\le n$.

Пункт а). Одно число 100 ($100'=100$) и 109 чисел 111 ($111'=111$) — суммы равны. Ответ: да.

Ключевая оценка для числа без нуля. Пусть цифры числа $x\le y\le z$ (все от 1 до 9). Тогда $n'=100x+10y+z$ (по возрастанию), а $n\le100z+10y+x$ (больше всего, если цифры по убыванию). Для любого $r\ge1$:

$$n-rn'\le z(100-r)+10y(1-r)+x(1-100r).$$

Так как $1-r\le0$ и $y\ge x$, второе слагаемое не больше $10x(1-r)$:

$$n-rn'\le z(100-r)+x(11-110r)\le9(100-r)+1\cdot(11-110r)=911-119r.$$

(Использовали $z\le9$ при $100-r>0$ и $x\ge1$ при $11-110r<0$.)

Пункт б). Нужно $S_1=8S_2$. При $r=8$: для числа без нуля $n-8n'\le911-952<0$, т. е. $n<8n'$. Для числа с нулём $n\le n'<8n'$. Складываем: $S_1<8S_2$. Ответ: нет.

Пункт в).

Пример. 109 чисел 911 (каждое $\to119$) и одно число 100 (в нём ноль и в десятках, и в единицах, $100'=100$):

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{109\cdot911+100}{109\cdot119+100}=\frac{99399}{13071}=\frac{33133}{4357}\approx7{,}60.$$

Оценка (метод «весов»). Пусть $r=\frac{33133}{4357}$ и $g(n)=n-rn'$. Нужно доказать $\sum g\le0$.

• Для числа без нуля по ключевой оценке $g\le911-119r=g(911)$.
• Для числа с нулём: $n'\ge n$, поэтому $g\le n-rn=(1-r)n\le(1-r)\cdot100=g(100)$ (так как $1-r<0$ и $n\ge100$).

В ряду есть хотя бы одно число с нулём. Для него берём оценку $g(100)$, для остальных 109 чисел — оценку $g(911)$ (она больше, чем $g(100)$, так что подходит для любых чисел):

$$S_1-rS_2\le109\,g(911)+g(100)=99399-13071r=0.$$

Значит, $\frac{S_1}{S_2}\le r$.

Ответ: а) да; б) нет; в) $\dfrac{33133}{4357}$.