Тип 20 № 23486

Переформулировка. Упорядочим числа: $a_1<a_2<\ldots<a_{60}$. Наименьшая сумма двух чисел — $a_1+a_2$, наибольшая сумма шести — $a_{55}+\ldots+a_{60}$. Поэтому условие «любые два больше любых шести» равносильно одному неравенству:

$$a_1+a_2>a_{55}+a_{56}+\ldots+a_{60}.$$

Полезный факт. Если $x_1<x_2<\ldots$ — различные целые, то каждое следующее хотя бы на 1 больше предыдущего, т. е. $x_j\ge x_i+(j-i)$.

Пункт а). Пример: $a_1=-400$, $a_2=-200$, а дальше подряд $-199,-198,\ldots,-142$ (это 58 чисел). Шесть наибольших: $-147-146-145-144-143-142=-867$. Две наименьших: $-400-200=-600>-867$. Ответ: да.

Пункт б). Положительное число 400 обязательно попадёт в шестёрку наибольших, поэтому остальные числа делаем сильно отрицательными. Пример: $a_1=-228$, $a_2=-226$, затем подряд $-225,\ldots,-169$ (57 чисел) и $a_{60}=400$. Шесть наибольших: $(-173-172-171-170-169)+400=-855+400=-455$. Две наименьших: $-454>-455$. Ответ: да.

Пункт в).

Оценка. Обозначим $y=a_2$.

1. Все $a_3,\ldots,a_{60}$ — различные целые, большие $y$, поэтому $a_{55}\ge y+53$, …, $a_{60}\ge y+58$. Сумма шести наибольших

$$T=a_{55}+\ldots+a_{60}\ge6y+(53+54+\ldots+58)=6y+333.$$

1. $a_1\le y-1$, поэтому $a_1+a_2\le2y-1$.

2. Из условия: $2y-1\ge a_1+a_2>T\ge6y+333$, откуда $4y<-334$, $y\le-84$. Значит, $a_1+a_2\le2\cdot(-84)-1=-169$.

3. $T<a_1+a_2\le-169$, т. е. $T\le-170$.

4. Числа $a_{55}<\ldots<a_{60}$ различны, поэтому $T\ge a_{55}+(a_{55}+1)+\ldots+(a_{55}+5)=6a_{55}+15$. Отсюда $6a_{55}\le-185$, $a_{55}\le-31$.

5. 52 числа $a_3,\ldots,a_{54}$ меньше $a_{55}$ и различны, поэтому их сумма не больше $(a_{55}-1)+(a_{55}-2)+\ldots+(a_{55}-52)=52a_{55}-1378\le-1612-1378=-2990$.

Складываем три части:

$$S=(a_1+a_2)+(a_3+\ldots+a_{54})+T\le-169-2990-170=-3329.$$

Пример. $-85,-84$; затем 52 числа подряд от $-83$ до $-32$; затем $-31,-30,-29,-28,-27$ и $-25$ (число $-26$ пропущено, чтобы сумма шести наибольших стала ровно $-170$).

Проверка: две наименьших $-169$; шесть наибольших $-(31+30+29+28+27+25)=-170<-169$; средний блок $-\frac{(83+32)\cdot52}2=-2990$; всего $-169-2990-170=-3329$.

Ответ: а) да; б) да; в) $-3329$.