Тип 20 № 23487

Переформулировка. $a_1<\ldots<a_{50}$. Условие равносильно неравенству «три наименьших больше пяти наибольших»:

$$a_1+a_2+a_3>a_{46}+\ldots+a_{50}.$$

Пункт а). Пример: $-300,-299$, затем подряд $-207,-206,\ldots,-160$ (48 чисел). Три наименьших: $-300-299-207=-806$. Пять наибольших: $-164-163-162-161-160=-810<-806$. Ответ: да.

Пункт б). Пример: подряд $-484,-483,\ldots,-436$ (49 чисел) и 300. Три наименьших: $-484-483-482=-1449$. Пять наибольших: $(-439-438-437-436)+300=-1750+300=-1450<-1449$. Ответ: да.

Пункт в).

Оценка. Пусть $y=a_3$.

1. $a_{46}\ge y+43$, …, $a_{50}\ge y+47$, поэтому $T=a_{46}+\ldots+a_{50}\ge5y+225$.

2. $a_1\le y-2$, $a_2\le y-1$, поэтому $a_1+a_2+a_3\le3y-3$.

3. Из условия $3y-3>T\ge5y+225$, откуда $2y<-228$, $y\le-115$. Значит, $a_1+a_2+a_3\le-348$, а $T\le-349$.

4. $T\ge5a_{46}+10$, откуда $a_{46}\le\frac{-359}5=-71{,}8$, т. е. $a_{46}\le-72$.

5. 42 числа $a_4,\ldots,a_{45}$ меньше $a_{46}$ и различны: их сумма $\le42a_{46}-(1+\ldots+42)=42a_{46}-903\le-3024-903=-3927$.

Итого:

$$S\le-348-3927-349=-4624.$$

Пример. $-117,-116,-115$; затем 42 числа подряд от $-114$ до $-73$; затем $-72,-71,-70,-69,-67$ (пропущено $-68$).

Проверка: три наименьших $-348$; пять наибольших $-349<-348$; средний блок $-\frac{(114+73)\cdot42}2=-3927$; сумма $-4624$.

Ответ: а) да; б) да; в) $-4624$.