Тип 14 № 23491

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. Приводим к основанию 16.

$2^{4x^4+1}=2\cdot2^{4x^4}=2\cdot16^{x^4}$, поэтому $3\cdot2^{4x^4+1}=6\cdot16^{x^4}$.

Шаг 2. Делим на $16^{x^4}>0$:

$$16^{x^2+3x+1{,}5}-16^{-x^2-3x-0{,}5}+6=0.$$

Шаг 3. Метод замены.

Пусть $y=16^{x^2+3x}>0$. Тогда:

• $16^{x^2+3x+1{,}5}=y\cdot16^{1{,}5}=64y$ (так как $16^{1{,}5}=4^3=64$);
• $16^{-(x^2+3x)-0{,}5}=\frac1y\cdot16^{-0{,}5}=\frac1{4y}$.

$$64y-\frac1{4y}+6=0.$$

Умножаем на $4y\ne0$:

$$256y^2+24y-1=0.$$

$D=24^2+4\cdot256=576+1024=1600$, $y=\frac{-24\pm40}{512}$: $y=\frac{16}{512}=\frac1{32}$ или $y=-\frac{64}{512}<0$.

Второй корень отрицателен, а $y=16^{\ldots}>0$ — он не подходит.

Шаг 4. Обратная замена.

$16^{x^2+3x}=\frac1{32}$. Запишем всё через двойку: $2^{4(x^2+3x)}=2^{-5}$, значит $4(x^2+3x)=-5$:

$$4x^2+12x+5=0,\quad D=144-80=64,\quad x=\frac{-12\pm8}{8}:\ x=-0{,}5,\ x=-2{,}5.$$

б) Отбор. Оба корня лежат на отрезке $[-4{,}4;0{,}4]$: $-4{,}4\le-2{,}5\le0{,}4$ и $-4{,}4\le-0{,}5\le0{,}4$.

Ответ: а) $-2{,}5;\ -0{,}5$; б) $-2{,}5;\ -0{,}5$.