Тип 14 № 23492

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. Метод замены. Пусть $c=\cos^22x$. Тогда $4^{2+c}=16\cdot4^c$, $9^{1+c}=9\cdot9^c$:

$$16\cdot4^c-4^c=9\cdot9^c+9^c.$$

Шаг 2. Выносим общие множители:

$$15\cdot4^c=10\cdot9^c.$$

Шаг 3. Делим на $15\cdot9^c>0$:

$$\left(\frac49\right)^c=\frac{10}{15}=\frac23.$$

Заметим, что $\frac23=\sqrt{\frac49}=\left(\frac49\right)^{1/2}$. По монотонности показательной функции $c=\frac12$.

Шаг 4. Обратная замена и понижение степени.

$\cos^22x=\frac12$. Применим формулу понижения степени $\cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}2$ при $\alpha=2x$:

$$\frac{1+\cos4x}2=\frac12\iff\cos4x=0\iff4x=\frac\pi2+\pi n\iff x=\frac\pi8+\frac{\pi n}4,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Можно решать и по-другому: $\cos2x=\pm\frac{\sqrt2}2$. Это четыре серии, которые на окружности дают точки через каждые $45^\circ$, начиная с $22{,}5^\circ$, — то есть та же самая серия.

б) Отбор двойным неравенством.

$$\frac\pi2\le\frac\pi8+\frac{\pi n}4\le\frac{3\pi}2.$$

Умножаем все части на $\frac8\pi$: $4\le1+2n\le12$, т. е. $1{,}5\le n\le5{,}5$. Подходят $n=2,3,4,5$:

$$x=\frac{5\pi}8,\ \frac{7\pi}8,\ \frac{9\pi}8,\ \frac{11\pi}8.$$

[РИСУНОК: окружность; выделена левая полуокружность от $\frac\pi2$ («верх») до $\frac{3\pi}2$ («низ»); красным отмечены точки $\frac{5\pi}8,\frac{7\pi}8,\frac{9\pi}8,\frac{11\pi}8$ (на $112{,}5^\circ,157{,}5^\circ,202{,}5^\circ,247{,}5^\circ$).]

Ответ: а) $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi n}4,\ n\in\mathbb Z$; б) $\dfrac{5\pi}8;\ \dfrac{7\pi}8;\ \dfrac{9\pi}8;\ \dfrac{11\pi}8$.