Тип 14 № 23493

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. ОДЗ. $x\ge0$ (корень) и $5^{\sqrt x}-2>0$ (под логарифмом).

Шаг 2. Переход к основанию 2.

$0{,}25=2^{-2}$, поэтому $\log_{0{,}25}A=\frac{1}{-2}\log_2A=-\frac12\log_2A$. Квадрат: $\log^2_{0{,}25}A=\frac14\log_2^2A$.

Шаг 3. Метод замены. Пусть $t=\log_2\left(5^{\sqrt x}-2\right)$:

$$\frac{t^2}4-2t+3{,}75=0.$$

Умножаем на $4$: $t^2-8t+15=0$. По теореме Виета $t=3$ или $t=5$.

Шаг 4. Обратная замена.

• $t=3$: $5^{\sqrt x}-2=2^3=8\Rightarrow5^{\sqrt x}=10\Rightarrow\sqrt x=\log_510\Rightarrow x=\log_5^210$.
• $t=5$: $5^{\sqrt x}-2=2^5=32\Rightarrow5^{\sqrt x}=34\Rightarrow\sqrt x=\log_534\Rightarrow x=\log_5^234$.

Проверка ОДЗ: выражение под логарифмом равно $8$ и $32$ (положительно); $\log_510>0$ и $\log_534>0$, так что извлекать квадрат было законно ($\sqrt x\ge0$).

б) Отбор: оцениваем логарифмы.

Идея: сравниваем аргумент логарифма с удобными степенями пятёрки.

• $x=\log_5^210$. Так как $5<10<5\sqrt5\approx11{,}2$, то $1<\log_510<1{,}5$, а значит $1<\log_5^210<2{,}25<3$. Корень левее отрезка — не подходит.
• $x=\log_5^234$. Так как $25<34<25\sqrt5\approx55{,}9$, то $2<\log_534<2{,}5$, а значит $4<\log_5^234<6{,}25$. Это внутри $[3;7]$ — подходит.

(Здесь $5\sqrt5=5^{1{,}5}$ и $25\sqrt5=5^{2{,}5}$.)

Ответ: а) $\log_5^210;\ \log_5^234$; б) $\log_5^234$.