Тип 14 № 23495

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. Всё записываем через степени двойки.

• $8^{1-4x}=(2^3)^{1-4x}=2^{3-12x}=2^3\cdot2^{-12x}=8\cdot\left(2^{-6x}\right)^2$;
• $4^{1{,}5-3x}=(2^2)^{1{,}5-3x}=2^{3-6x}=8\cdot2^{-6x}$.

Ключ к замене: показатель $-12x$ ровно вдвое больше показателя $-6x$, поэтому $2^{-12x}=\left(2^{-6x}\right)^2$.

Шаг 2. Метод замены. Пусть $y=2^{-6x}>0$:

$$8y^2-21\cdot8y+640=0.$$

Делим на $8$: $y^2-21y+80=0$. По теореме Виета $y=16$ или $y=5$ (оба положительны).

Шаг 3. Обратная замена.

• $2^{-6x}=16=2^4\Rightarrow-6x=4\Rightarrow x=-\frac23$;
• $2^{-6x}=5\Rightarrow-6x=\log_25\Rightarrow x=-\frac16\log_25$.

б) Отбор.

• $x=-\frac23\approx-0{,}67$: $-1\le-\frac23\le-0{,}5$ — подходит.
• $x=-\frac16\log_25$. Так как $5<8$, то $\log_25<\log_28=3$, и $-\frac16\log_25>-\frac36=-0{,}5$. Корень правее отрезка — не подходит.

Ответ: а) $-\dfrac23;\ -\dfrac16\log_25$; б) $-\dfrac23$.