Тип 14 № 23497

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. Подставляем известные значения и формулы.

• $\sin\frac{5\pi}6=\sin\left(\pi-\frac\pi6\right)=\sin\frac\pi6=\frac12$;
• $\cos\left(2x-\frac\pi2\right)=\sin2x$ (формула приведения);
• $\sin4x=2\sin2x\cos2x$ (синус двойного угла для угла $2x$).

$$\cos2x\cdot2\sin2x\cos2x-\frac12\cos4x=\sin2x\iff2\sin2x\cos^22x-\frac12\cos4x-\sin2x=0.$$

Шаг 2. Метод группировки. Группируем первое и третье слагаемые, выносим $\sin2x$:

$$\sin2x\,(2\cos^22x-1)-\frac12\cos4x=0.$$

По формуле косинуса двойного угла $2\cos^22x-1=\cos4x$:

$$\sin2x\cos4x-\frac12\cos4x=0.$$

Шаг 3. Разложение на множители. Выносим $\cos4x$:

$$\cos4x\left(\sin2x-\frac12\right)=0.$$

Шаг 4. Каждый множитель приравниваем к нулю.

• $\cos4x=0\iff4x=\frac\pi2+\pi k\iff x=\frac\pi8+\frac{\pi k}4$;
• $\sin2x=\frac12\iff2x=\frac\pi6+2\pi n$ или $2x=\frac{5\pi}6+2\pi m\iff x=\frac\pi{12}+\pi n$ или $x=\frac{5\pi}{12}+\pi m$.

б) Отбор двойными неравенствами.

Серия $\frac\pi8+\frac{\pi k}4$: $-3\pi\le\frac\pi8+\frac{\pi k}4\le-2\pi$. Умножаем на $\frac8\pi$: $-24\le1+2k\le-16$, т. е. $-12{,}5\le k\le-8{,}5$. Подходят $k=-12,-11,-10,-9$:

$$x=\frac{\pi(1+2k)}8:\quad-\frac{23\pi}8,\ -\frac{21\pi}8,\ -\frac{19\pi}8,\ -\frac{17\pi}8.$$

Серия $\frac\pi{12}+\pi n$: $-3\le\frac1{12}+n\le-2$, т. е. $-3\frac1{12}\le n\le-2\frac1{12}$, $n=-3$: $x=\frac\pi{12}-3\pi=-\frac{35\pi}{12}$.

Серия $\frac{5\pi}{12}+\pi m$: $-3\le\frac5{12}+m\le-2$, т. е. $-3\frac5{12}\le m\le-2\frac5{12}$, $m=-3$: $x=\frac{5\pi}{12}-3\pi=-\frac{31\pi}{12}$.

Упорядочим (переведём в двадцать четвёртые доли $\pi$): $-\frac{70\pi}{24}<-\frac{69\pi}{24}<-\frac{63\pi}{24}<-\frac{62\pi}{24}<-\frac{57\pi}{24}<-\frac{51\pi}{24}$.

Ответ: а) $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi k}4,\ \dfrac\pi{12}+\pi n,\ \dfrac{5\pi}{12}+\pi m,\ k,n,m\in\mathbb Z$; б) $-\dfrac{35\pi}{12};\ -\dfrac{23\pi}8;\ -\dfrac{21\pi}8;\ -\dfrac{31\pi}{12};\ -\dfrac{19\pi}8;\ -\dfrac{17\pi}8$.