Тип 14 № 23498

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. Подставляем значения и формулы.

• $\cos\frac{2\pi}3=-\frac12$;
• $\sin\left(2x-\frac{3\pi}2\right)$: прибавим полный оборот $2\pi$ (синус не изменится): $\sin\left(2x+\frac\pi2\right)=\cos2x$;
• $\sin4x=2\sin2x\cos2x$.

$$2\sin^22x\cos2x-\frac12\cos4x-\cos2x=0.$$

Шаг 2. Метод группировки. Выносим $\cos2x$ из первого и третьего слагаемых:

$$\cos2x\,(2\sin^22x-1)-\frac12\cos4x=0.$$

По формуле $\cos4x=1-2\sin^22x$ получаем $2\sin^22x-1=-\cos4x$:

$$-\cos2x\cos4x-\frac12\cos4x=0.$$

Шаг 3. Разложение на множители:

$$-\cos4x\left(\cos2x+\frac12\right)=0.$$

Шаг 4.

• $\cos4x=0\iff x=\frac\pi8+\frac{\pi k}4$;
• $\cos2x=-\frac12\iff2x=\pm\frac{2\pi}3+2\pi n\iff x=\pm\frac\pi3+\pi n$.

б) Отбор двойными неравенствами.

Серия $\frac\pi8+\frac{\pi k}4$: $-\frac72\le\frac{1+2k}8\le-\frac52$, т. е. $-28\le1+2k\le-20$, $-14{,}5\le k\le-10{,}5$. Подходят $k=-14,-13,-12,-11$:

$$-\frac{27\pi}8,\ -\frac{25\pi}8,\ -\frac{23\pi}8,\ -\frac{21\pi}8.$$

Серия $\frac\pi3+\pi n$: $-3{,}5\le\frac13+n\le-2{,}5$, т. е. $-3\frac56\le n\le-2\frac56$, $n=-3$: $x=-\frac{8\pi}3$.

Серия $-\frac\pi3+\pi n$: $-3{,}5\le-\frac13+n\le-2{,}5$, т. е. $-3\frac16\le n\le-2\frac16$, $n=-3$: $x=-\frac{10\pi}3$.

Упорядочим (в двадцать четвёртых долях $\pi$): $-\frac{81\pi}{24}<-\frac{80\pi}{24}<-\frac{75\pi}{24}<-\frac{69\pi}{24}<-\frac{64\pi}{24}<-\frac{63\pi}{24}$.

Ответ: а) $\dfrac\pi8+\dfrac{\pi k}4,\ \pm\dfrac\pi3+\pi n,\ k,n\in\mathbb Z$; б) $-\dfrac{27\pi}8;\ -\dfrac{10\pi}3;\ -\dfrac{25\pi}8;\ -\dfrac{23\pi}8;\ -\dfrac{8\pi}3;\ -\dfrac{21\pi}8$.