Тип 14 № 23499

а) Решаем уравнение.

Шаг 1. Левая часть.

$$\cos^4\frac x4-\sin^4\frac x4=\left(\cos^2\frac x4-\sin^2\frac x4\right)\left(\cos^2\frac x4+\sin^2\frac x4\right)=\cos\frac x2\cdot1=\cos\frac x2.$$

Шаг 2. Правая часть. $\sin\left(x-\frac\pi2\right)=-\cos x$. Уравнение:

$$\cos\frac x2+\cos x=0.$$

Шаг 3. Метод замены. Выразим $\cos x$ через $\cos\frac x2$ по формуле двойного угла: $\cos x=2\cos^2\frac x2-1$. Пусть $c=\cos\frac x2$:

$$c+2c^2-1=0\iff2c^2+c-1=0.$$

$D=1+8=9$, $c=\frac{-1\pm3}4$: $c=\frac12$ или $c=-1$.

Шаг 4. Обратная замена.

• $\cos\frac x2=-1\iff\frac x2=\pi+2\pi n\iff x=2\pi+4\pi n$;
• $\cos\frac x2=\frac12\iff\frac x2=\pm\frac\pi3+2\pi k\iff x=\pm\frac{2\pi}3+4\pi k$.

б) Отбор на $[\pi;5\pi]$.

Серия $2\pi+4\pi n$: $1\le2+4n\le5$, т. е. $-\frac14\le n\le\frac34$, $n=0$: $x=2\pi$.

Серия $\frac{2\pi}3+4\pi k$: $1\le\frac23+4k\le5$, т. е. $\frac1{12}\le k\le\frac{13}{12}$, $k=1$: $x=\frac{14\pi}3$.

Серия $-\frac{2\pi}3+4\pi k$: $1\le-\frac23+4k\le5$, т. е. $\frac5{12}\le k\le\frac{17}{12}$, $k=1$: $x=\frac{10\pi}3$.

Ответ: а) $2\pi+4\pi n,\ \pm\dfrac{2\pi}3+4\pi k,\ n,k\in\mathbb Z$; б) $2\pi;\ \dfrac{10\pi}3;\ \dfrac{14\pi}3$.