Тип 19 № 23511

Рассмотрим кусочно-линейную функцию $y=|x-a-1|+|x-a+1|$.

• При $x<a-1$ имеем $y=-2x+2a$.
• При $a-1\le x<a+1$ имеем $y=2$.
• При $x\ge a+1$ имеем $y=2x-2a$.

На промежутке $(-\infty;\,a-1]$ функция убывает, $y(a-1)=2$; на промежутке $[a-1;\,a+1]$ функция принимает постоянное значение 2; на промежутке $[a+1;\,+\infty)$ функция возрастает, $y(a+1)=2$.

Таким образом, значение $y=2$ принимается при всех $x$ таких, что $a-1\le x\le a+1$; значения $y<2$ не принимаются ни при каких $x$, а каждое из значений $y>2$ принимается при двух различных $x$.

Для того чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, должны выполняться следующие условия: на промежутке $(2;\,+\infty)$ уравнение $y^2+ay+a^2-16=0$ должно иметь ровно один корень, причём число 2 не должно являться корнем этого уравнения.

Эти условия выполнены в двух случаях.

В первом случае уравнение $y^2+ay+a^2-16=0$ имеет единственный корень, причём он больше 2. Дискриминант уравнения $D=64-3a^2$ равен нулю при $a=-\dfrac{8\sqrt3}3$ или $a=\dfrac{8\sqrt3}3$.

При $a=-\dfrac{8\sqrt3}3$ уравнение имеет ровно один корень $\dfrac{4\sqrt3}3>2$, поэтому $a=-\dfrac{8\sqrt3}3$ удовлетворяет условию задачи.

При $a=\dfrac{8\sqrt3}3$ уравнение имеет ровно один корень $-\dfrac{4\sqrt3}3\le2$, поэтому $a=\dfrac{8\sqrt3}3$ не удовлетворяет условию задачи.

Во втором случае уравнение $y^2+ay+a^2-16=0$ имеет два корня, причём один из них больше 2, а другой меньше 2. Это равносильно тому, что $f(2)<0$, где $f(y)=y^2+ay+a^2-16$. Решая неравенство $a^2+2a-12<0$, получим: $-1-\sqrt{13}<a<-1+\sqrt{13}$.

Ответ: $a=-\dfrac{8\sqrt3}3$; $\ -1-\sqrt{13}<a<-1+\sqrt{13}$.