Тип 19 № 23512

Уравнение $y=|x-a|-4$ задаёт на плоскости $Oxy$ пару лучей с общим началом в точке $(a;\,-4)$: луч $l_1$, совпадающий с прямой $y=-x+a-4$ при $x\le a$, и луч $l_2$, совпадающий с прямой $y=x-a-4$ при $x\ge a$.

Уравнение $4|y|+x^2+8x=0$ задаёт на плоскости $Oxy$ множество точек, представляющее собой объединение дуги $\omega_1$ параболы $y=\frac14(x+4)^2-4$ с концами в точках $(-8;\,0)$ и $(0;\,0)$ и дуги $\omega_2$ параболы $y=-\frac14(x+4)^2+4$ с концами в тех же точках.

Рассмотрим варианты расположения луча $l_1$ и дуг $\omega_1$ и $\omega_2$.

При $a=-4$ луч проходит через концевую точку дуг $(-8;\,0)$, при $a=4$ — через концевую точку дуг $(0;\,0)$.

Найдём значение $a$, при котором прямая $y=-x+a-4$ и парабола $y=\frac14(x+4)^2-4$ касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. В этом случае уравнение $-x+a-4=\frac14(x+4)^2-4$ должно иметь единственный корень. Запишем это уравнение в виде $\frac14x^2+3x-a+4=0$, дискриминант этого квадратного уравнения $D=9+a-4=a+5$. При условии $D=0$, которое выполнено при $a=-5$, уравнение имеет единственный корень $x=-6$. Значит, касание прямой и параболы происходит при $a=-5$, причём точка касания имеет координаты $(-6;\,-3)$. Эта точка принадлежит одновременно дуге $\omega_1$ и лучу $l_1$.

Найдём значение $a$, при котором прямая $y=-x+a-4$ и парабола $y=-\frac14(x+4)^2+4$ касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. В этом случае уравнение $-x+a-4=-\frac14(x+4)^2+4$ должно иметь единственный корень. Запишем это уравнение в виде $\frac14x^2+x+a-4=0$, дискриминант этого квадратного уравнения $D=1-a+4=5-a$. При условии $D=0$, которое выполнено при $a=5$, уравнение имеет единственный корень $x=-2$. Значит, касание прямой и параболы происходит при $a=5$, причём точка касания имеет координаты $(-2;\,3)$. Эта точка принадлежит одновременно дуге $\omega_2$ и лучу $l_1$.

Рассмотрим варианты расположения луча $l_2$ и дуг $\omega_1$ и $\omega_2$.

При $a=-12$ луч проходит через концевую точку дуг $(-8;\,0)$, при $a=-4$ — через концевую точку дуг $(0;\,0)$.

Найдём значение $a$, при котором прямая $y=x-a-4$ и парабола $y=\frac14(x+4)^2-4$ касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. В этом случае уравнение $x-a-4=\frac14(x+4)^2-4$ должно иметь единственный корень. Запишем это уравнение в виде $\frac14x^2+x+a+4=0$, дискриминант этого квадратного уравнения $D=1-a-4=-a-3$. При условии $D=0$, которое выполнено при $a=-3$, уравнение имеет единственный корень $x=-2$. Значит, касание прямой и параболы происходит при $a=-3$, причём точка касания имеет координаты $(-2;\,-3)$. Эта точка принадлежит одновременно дуге $\omega_1$ и лучу $l_2$.

Найдём значение $a$, при котором прямая $y=x-a-4$ и парабола $y=-\frac14(x+4)^2+4$ касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. В этом случае уравнение $x-a-4=-\frac14(x+4)^2+4$ должно иметь единственный корень. Запишем это уравнение в виде $\frac14x^2+3x-a-4=0$, дискриминант этого квадратного уравнения $D=9+a+4=a+13$. При условии $D=0$, которое выполнено при $a=-13$, уравнение имеет единственный корень $x=-6$. Значит, касание прямой и параболы происходит при $a=-13$, причём точка касания имеет координаты $(-6;\,3)$. Эта точка принадлежит одновременно дуге $\omega_2$ и лучу $l_2$.

Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ принадлежит объединению дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ при $a=-4$.

Таким образом, найдено семь граничных значений параметра: $a=-13$ (система уравнений имеет одно решение), $a=-12$ (два решения), $a=-5$ (три решения), $a=-4$ (три решения), $a=-3$ (три решения), $a=4$ (два решения), $a=5$ (одно решение).

Используя рисунок, получаем, что система уравнений имеет четыре решения при $-5<a<-4$ и $-4<a<-3$.

Ответ: $-5<a<-4$; $\ -4<a<-3$.