Тип 19 № 23514

Исходное уравнение равносильно уравнению $3x^2+2ax+1=\left(x^2+ax+1\right)^2$ при условии $x^2+ax+1\ge0$.

Решим уравнение $3x^2+2ax+1=\left(x^2+ax+1\right)^2$:

$$3x^2+2ax+1=x^4+2ax^3+\left(a^2+2\right)x^2+2ax+1;\qquad x^4+2ax^3+\left(a^2-1\right)x^2=0;$$

$$x^2(x+a+1)(x+a-1)=0,$$

откуда $x=0$, $x=1-a$ или $x=-1-a$.

Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны и для каждого из них выполнено условие $x^2+ax+1\ge0$.

Рассмотрим условия совпадения корней. При $a=1$ имеем $1-a=0$. При $a=-1$ имеем $-1-a=0$. При остальных значениях $a$ числа $0$, $1-a$, $-1-a$ различны.

При $x=0$ получаем: $x^2+ax+1=1\ge0$ при всех значениях $a$.

При $x=1-a$ получаем: $x^2+ax+1=(1-a)^2+a(1-a)+1=2-a$. Это выражение неотрицательно при $a\le2$.

При $x=-1-a$ получаем: $x^2+ax+1=(-1-a)^2+a(-1-a)+1=a+2$. Это выражение неотрицательно при $a\ge-2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при

$$-2\le a<-1;\quad-1<a<1;\quad1<a\le2.$$

Ответ: $-2\le a<-1$; $\ -1<a<1$; $\ 1<a\le2$.