Тип 19 № 23515

Корнями исходного уравнения являются корни уравнения $|3x|-2x-2-a=0$, для которых выполнено условие $x^2-2x-a\ne0$.

При $x\le0$ уравнение $|3x|-2x-2-a=0$ принимает вид $-5x-2-a=0$ и задаёт на плоскости $Oxa$ луч $l_1$ с началом в точке $(0;\,-2)$. При $x\ge0$ уравнение $|3x|-2x-2-a=0$ принимает вид $x-2-a=0$ и задаёт луч $l_2$ с началом в точке $(0;\,-2)$. Значит, уравнение $|3x|-2x-2-a=0$ имеет два корня при $a>-2$, имеет один корень при $a=-2$ и не имеет корней при $a<-2$.

Уравнение $x^2-2x-a=0$ задаёт параболу $a=x^2-2x$.

Координаты точек пересечения параболы $a=x^2-2x$ с лучом $l_1$ являются решениями системы:

$$\begin{cases}a=x^2-2x,\\ a=-5x-2,\\ x\le0;\end{cases}\qquad\begin{cases}-5x-2=x^2-2x,\\ a=-5x-2,\\ x\le0;\end{cases}\qquad\begin{cases}(x+1)(x+2)=0,\\ a=-5x-2,\\ x\le0.\end{cases}$$

Значит, парабола $a=x^2-2x$ пересекается с лучом $l_1$ в точках $(-1;\,3)$ и $(-2;\,8)$.

Координаты точек пересечения параболы $a=x^2-2x$ с лучом $l_2$ являются решениями системы:

$$\begin{cases}a=x^2-2x,\\ a=x-2,\\ x\ge0;\end{cases}\qquad\begin{cases}x-2=x^2-2x,\\ a=x-2,\\ x\ge0;\end{cases}\qquad\begin{cases}(x-1)(x-2)=0,\\ a=x-2,\\ x\ge0.\end{cases}$$

Значит, парабола $a=x^2-2x$ пересекается с лучом $l_2$ в точках $(1;\,-1)$ и $(2;\,0)$.

Следовательно, условие $x^2-2x-a\ne0$ выполнено для корней уравнения $|3x|-2x-2-a=0$ при всех $a$, кроме $a=-1$, $a=0$, $a=3$ и $a=8$.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при $-2<a<-1$; $-1<a<0$; $0<a<3$; $3<a<8$; $a>8$.

Ответ: $-2<a<-1$; $\ -1<a<0$; $\ 0<a<3$; $\ 3<a<8$; $\ a>8$.