Дальний Восток

а) Решите уравнение: $2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2x + 2\sin x$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$

Дана четырехугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит ромб $ABCD$ со стороной $10$. Известно, что $SA = SC = 10\sqrt{2}$, $SB = 20$ и $AC = 10$.

а) Докажите, что ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $SB$.

Решите неравенство: $(\log_{0,25}^2(x + 3) - \log_4(x^2 + 6x + 9) + 1) \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:

● каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

● с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

● в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

● в июле 2030 года долг должен составлять $800$ тыс. руб.;

● в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна $2090$ тысяч рублей.

Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A  =  7, B  =  11.

а)  Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?

б)  За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?