Вариант ФИПИ

а) Решите уравнение: $\log_9(3^{2x} + 5\sqrt2\sin x - 6\cos ^2x -2) = x$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2} \right].$

На рёбрах $AC, AD, BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K, L, M$ и $N$ соответственно, причём $AK : KC = 2 : 3$.
Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной $2$.

a) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25$.

Решите неравенство $\frac{8^{x+\frac{2}{3}} - 9 \cdot 4^{x+\frac{1}{2}} + 13 \cdot 2^x - 13}{4^{x+\frac{1}{2}} - 9 \cdot 2^x + 4} \leq 2^{x+1} - \frac{1}{2^x - 2} + \frac{3}{2^{x+1} - 1}.$

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с предыдущим годом;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом.

Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна 375,000 рублей.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $34$, а $BC = 32$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{7x - 4}\cdot\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 4]$.

NOOON

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а) Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $16$ см на части по $1$ см?

б) Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см?

в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $200$ см на части по $1$ см?