Санкт-Петербург, Москва, Центр

а) Решите уравнение: $\sin 2x + 2\sin(-x) + \cos(-x) - 1 = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$

В кубе $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $A B$ и $A D$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_1 N$ и $C M$ перпендикулярны.

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$, причём она параллельна прямой $C M$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если известно, что $B_1 N = 6$.

Решите неравенство: $3^x + \frac{243}{3^x - 36} \geq 0$

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг будет возрастать на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

• платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 400 тыс. рублей;

• к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $AB = BD$. Биссектриса $BF$ пересекает $AD$ в точке $E$. Из точки $C$ на прямую $AD$ опущен перпендикуляр $CK$.

а) Докажите, что $AB : BC = AE : EK$.

б) Найдите отношение площади $ABE$ к площади $CDEF$, если $BD:DC=5:2$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$|2x^2 -3x - 2| = a - 2x^2 - 8x$$ либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 151?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 600 включительно?