Урал

а) Решите уравнение: $\log_4(2^{2x} - \sqrt{3}\cos x - 6\sin^2 x) = x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.

На рёбрах $AC, AD, BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K, L, M$ и $N$ соответственно, причём $AK : KC = 2 : 3$.
Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной $2$.

a) Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25$.

Решите неравенство $\frac{27^{x+\frac{1}{3}} - 10 \cdot 9^x + 10 \cdot 3^x - 5}{9^{x+\frac{1}{2}} - 10 \cdot 3^x + 3} \leq 3^x + \frac{1}{3^x - 2} + \frac{1}{3^{x+1} - 1}.$

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

-- в январе каждого года долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с предыдущим годом;

-- с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна $311\,040$ рублей?

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC = 16$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5x - 3}\cdot\ln(x^2 - 6x + 10 - a^2) = 0$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 3]$.

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а) Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $32$ см на части по $1$ см?

б) Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $50$ см на части по $1$ см?

в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?