Тип 26 № 20137

Обоснование

1. Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй.

2. Снаряд и осколки считаем материальными точками, так как их размерами по сравнению с расстояниями движения можно пренебречь.

3. В момент взрыва применим закон сохранения импульса, так как время взрыва мало, а изменение импульса системы под действием силы тяжести за это время пренебрежимо мало.

4. После взрыва осколки движутся под действием только силы тяжести, так как сопротивлением воздуха по условию пренебрегают.

Решение.

В верхней точке траектории скорость снаряда направлена горизонтально и равна $$v=v_0\cos\alpha.$$

Масса снаряда до взрыва: $$M=m_1+m_2.$$

Выберем ось $Ox$ горизонтально в сторону первоначального полёта снаряда, а ось $Oy$ — вертикально вверх. По оси $Ox$ для момента взрыва: $$Mv=m_1v_1-m_2v_2,$$ где $v_2$ — модуль скорости второго осколка сразу после взрыва. Знак “минус” показывает, что второй осколок полетел в сторону, противоположную первоначальному движению снаряда. Тогда $$v_2=\frac{m_1v_1-(m_1+m_2)v_0\cos\alpha}{m_2}.$$

Подставим данные: $$v_2=\frac{1{,}5\cdot 200-(1{,}5+1)\cdot 200\cdot \cos 60^\circ}{1} =50\ \text{м/с}.$$

По оси $Oy$ до взрыва импульс снаряда равен нулю, так как в верхней точке траектории его вертикальная скорость равна нулю. Следовательно, вертикальная скорость второго осколка сразу после взрыва также равна нулю.

Высота верхней точки траектории: $$h=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.$$

Так как второй осколок начинает падать с высоты $h$ без начальной вертикальной скорости, время его падения определяется из уравнения $$h=\frac{gt^2}{2},$$ откуда $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{v_0\sin\alpha}{g}.$$

Подставим значения: $$t=\frac{200\cdot \sin 60^\circ}{10} =10\sqrt{3}\ \text{с}.$$

Тогда расстояние от точки на земле под местом взрыва до места падения второго осколка: $$s_2=v_2t=50\cdot 10\sqrt{3}=500\sqrt{3}\approx 866\ \text{м}.$$

Ответ: 866 м.