Тип 25 № 21333

1. Построим изображение $A'B'$ предмета $AB$ в линзе:

• Точка $A$ находится на двойном фокусном расстоянии ($a = 40\text{ см} = 2F$), поэтому её действительное изображение $A'$ формируется также на расстоянии $2F$ за линзой на глубине $h$ под оптической осью.
• Для построения изображения точки $B$ проведём луч 1 параллельно оси до линзы (точка $D$) и далее через задний фокус $F$, а луч 2 — через оптический центр $O$. Пересечение этих лучей даёт точку $B'$.

1. Расстояние от точки $B$ до линзы: $d_B = 2F - l = 40 - 10 = 30\text{ см}$. По формуле тонкой линзы найдём расстояние до её изображения $f_B = OC$: $$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_B} + \frac{1}{OC} \implies OC = \frac{F(2F - l)}{F - l} = \frac{20 \cdot 30}{20 - 10} = 60\text{ см}$$

2. Из подобия прямоугольных треугольников $\Delta B'CO \sim \Delta BDO$: $$\frac{B'C}{h} = \frac{OC}{2F - l} = \frac{F}{F - l} = \frac{20}{10} = 2 \implies B'C = 2h$$

3. Разность координат концов изображения вдоль оптической оси и по вертикали: $$\Delta x = OC - 2F = 60 - 40 = 20\text{ см}$$ $$\Delta y = B'C - h = 2h - h = h$$

4. По теореме Пифагора для длины изображения $A'B' = L$: $$L^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 \implies h = \sqrt{L^2 - \Delta x^2}$$ $$h = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\text{ см}$$

Ответ: $15\text{ см}$