Тип 24 № 21464

Дано: $m = 20$ кг
$F = 1000$ Н
$t_1 = 17^\circ$C
$t_2 = -23^\circ$C
$p_0 = 10^5$ Па
$V_2 = 2V_1$

Найти: $p_1$ — ?

Решение.

В состоянии покоя на станцию действуют силы тяжести, Архимеда и внешняя удерживающая сила. Поскольку система находится в равновесии, векторная сумма этих сил равна нулю. Запишем это условие для двух положений станции:

1. У поверхности Земли: сила Архимеда $F_{\text{А1}}$, сила тяжести $mg$ и сила $F$ уравновешивают друг друга. $$\vec{F}_{\text{А1}} + m\vec{g} + \vec{F} = \vec{0}$$

2. На высоте $H$: станция находится в свободном полете (без внешнего удержания), поэтому силы Архимеда $F_{\text{А2}}$ и тяжести $mg$ компенсируются. $$\vec{F}_{\text{А2}} + m\vec{g} = \vec{0}$$

Запишем эти уравнения в проекции на вертикальную ось (направленную вверх): $$F_{\text{А1}} - mg - F = 0 \quad \Rightarrow \quad F_{\text{А1}} = mg + F,$$ $$F_{\text{А2}} - mg = 0 \quad \Rightarrow \quad F_{\text{А2}} = mg.$$

Выразим силы Архимеда через плотность воздуха $\rho$, ускорение свободного падения $g$ и объем станции $V$ (для первого случая $\rho_1$ и $V_1$, для второго $\rho_2$ и $V_2$). По условию $V_2 = 2V_1$. Разделим второе уравнение на первое: $$\frac{F_{\text{А2}}}{F_{\text{А1}}} = \frac{\rho_2 g V_2}{\rho_1 g V_1} = \frac{\rho_2 \cdot 2V_1}{\rho_1 \cdot V_1} = \frac{mg}{F + mg}.$$

После сокращения получим отношение плотностей воздуха на разных высотах: $$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{mg}{2(F + mg)}. \tag{1}$$

Далее применим уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Записав его через плотность, получим связь давления и температуры: $$p_0 = \frac{\rho_1 R T_1}{\mu}, \quad p_1 = \frac{\rho_2 R T_2}{\mu},$$ где $R$ — универсальная газовая постоянная, $\mu$ — молярная масса воздуха, $T_1$ и $T_2$ — абсолютные температуры у поверхности и на высоте соответственно.

Поделив выражение для $p_1$ на выражение для $p_0$, мы исключаем постоянные величины $R$ и $\mu$: $$\frac{p_1}{p_0} = \frac{\rho_2 T_2}{\rho_1 T_1}.$$

Подставим в это соотношение найденное ранее отношение плотностей (1) и выразим искомое давление на высоте: $$p_1 = p_0 \cdot \frac{\rho_2}{\rho_1} \cdot \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_0 m g T_2}{2(F + mg) T_1}.$$

Переведем температуры в кельвины ($T_1 = 17 + 273 = 290$ К, $T_2 = -23 + 273 = 250$ К) и выполним расчет: $$p_1 = \frac{10^5 \cdot 20 \cdot 10 \cdot 250}{2 \cdot (1000 + 20 \cdot 10) \cdot 290} \approx 7{,}2 \cdot 10^3 \text{ Па}.$$